8. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента , для второго – , для третьего элемента . Найти вероятность того, что в интервале времени час откажет хотя бы один элемент.

9. . Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

10. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

11. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 испытаний равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений этого события от математического ожидания будет более 30-ти.

12. В радиоаппаратуре, содержащей 300 ламп, применяются лампы с вероятностью годности 80%. Найти вероятность того, что 400 подобных ламп достаточно для того, чтобы полностью укомплектовать эту радиоаппаратуру.

13. Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения . Найти плотности распределения составляющих X и Y.

В а р и а н т 7

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Н

X	–1	1	2	3
P	0,15	0,25		0,3

айти: 1) значение вероятности , соответ-

ствующее значению ;

2) , , ;

3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины X.

2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биноминальному закону: .

4. Вероятность того, что абонент наберет правильно номер телефона, принимается равной 0,999. Определить вероятность того, что среди 600 произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных.

5. В партии из N деталей имеется M стандартных. Наудачу отобраны n деталей. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных деталей. Найти , ; построить многоугольник распределения, если , , .

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Н

айти: 1) функцию плотности ;

2) , , ;

3) вероятность того, что в результате

опыта случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .

7. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где

Найти параметр и записать закон распределения. Найти , . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

8. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента , для второго – , для третьего элемента – . Найти вероятность того, что в интервале времени час откажут все три элемента.

9. . Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

10. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

11. Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,5, оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1200 новорожденных мальчиков будет от 550-ти до 650-ти.

12. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности 0,9 детали быть годной не превысит 0,01?

13. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Н

Y	X
	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25
5	0,10	0,30	0,05

айти закон распределения составляющих X и Y; их математические ожидания и ; дисперсии и ; коэффициент корреляции .

В а р и а н т 8

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Н

X	3	5	6	8
P	0,4	0,3		0,1

айти: 1) значение вероятности , соответ-

ствующее значению ;

2) , , ;

3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины X.

2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биноминальному закону: .

4. Установлено, что в среднем 5% шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. Определить вероятность того, что среди поступивших на контроль 1000 шариков бракованными окажутся 4 штуки.

5. В партии из N деталей имеется M стандартных. Наудачу отобраны n деталей. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных деталей. Найти , ; построить многоугольник распределения, если , , .

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Н

айти: 1) функцию плотности ;

2) , , ;

3) вероятность того, что в результате

опыта случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .

7. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где

Найти параметр и записать закон распределения. Найти , . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

8. Время T безотказной работы радиотехнической системы распределено по показательному закону. Интенсивность отказов системы . Найти среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы за 80 ч.

9. . Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

10. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

11. Вероятность появления события A в каждом испытании равна 0,2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаний отклонение частоты события A от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

12. Сбрасывается 80 серий бомб на полосу укреплений противника. Известно, что при сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 3, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,75. Какова вероятность того, что при сбрасывании указанной серии бомб в полосу укреплений попадет от 230-ти до 250-ти бомб?

13. Система двух случайных величин распределена равномерно: в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , функция сохраняет постоянное значение, а вне этого прямоугольника она равна нулю. Найти: а) плотность совместного распределения; б) функцию распределения системы.

В а р и а н т 9

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Н

X	2	3	5	6
P	0,25	0,3		0,15

айти: 1) значение вероятности , соответ-

ствующее значению ;

2) , , ;

3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины X.

2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биноминальному закону: .

4. Рабочий-сборщик, обслуживающий конвейер, за смену собирает в среднем 5000 деталей. Вероятность пропуска несобранной детали за смену равна 0,0016. Какова вероятность того, что за смену рабочий пропустит 6 несобранных деталей?

5. В партии из N деталей имеется M стандартных. Наудачу отобраны n деталей. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных деталей. Найти , ; построить многоугольник распределения, если , , .

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Н

айти: 1) функцию плотности ;

2) , , ;

3) вероятность того, что в результате

опыта случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .

7. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где

Найти параметр и записать закон распределения. Найти , . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

8. Определить время работы радиолампы с надежностью 0,8 (вероятность безотказной работы радиолампы), если среднее время ее работы равно 700 ч.

9. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

10. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением . Считая, что для данной технологии и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

11. Шестигранную кость подбрасывают 10000 раз. Оценить то, что вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления того же числа очков меньше чем на 0,01.

12. При стрельбе из орудия отклонение снаряда от цели вызывается тремя независимыми причинами. Предполагая, что все три погрешности распределены по нормальному закону со средним значением 0 и средними квадратическими отклонениями 15 м, 5 м и 10 м, найти вероятность того, что суммарное отклонение не превзойдет 30 м.

13. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми , , , , задана плотность распределения системы двух случайных величин ; вне прямоугольника имеем . Найти: а) величину С; б) функцию распределения системы.

В а р и а н т 10

1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Н

X	1	3	5	7
P	0,3	0,2		0,2

айти: 1) значение вероятности , соответ-

ствующее значению ;

2) , , ;

3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины X.

2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биноминальному закону: .

4. Вероятность того, что при транспортировке какой-либо телевизор будет поврежден, равна 0,001. Завод отправил потребителю 3000 доброкачественных телевизоров. Какова вероятность того, что потребитель получил 5 телевизоров с дефектами?

5. В партии из N деталей имеется M стандартных. Наудачу отобраны n деталей. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных деталей. Найти , ; построить многоугольник распределения, если , , .

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Н

айти: 1) функцию плотности ;

2) , , ;

3) вероятность того, что в результате

опыта случайная величина X при-

мет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .

7. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где

Найти параметр и записать закон распределения. Найти , . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

8. Радиоаппаратура за 1000 ч работы выходит из строя в среднем один раз. Определить вероятность выхода из строя радиоаппаратуры за 200 ч работы, предполагая, что срок безотказной работы радиоаппаратуры есть случайная величина, распределенная по показательному закону.

9. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале .

10. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г?

11. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания более чем на 25000 л (по абсолютной величине).

12. Произведено 50 измерений некоторой величины. При этом среднее арифметическое результатов измерений равно 119,72. Измерения считаются равноточными со средним квадратическим отклонением . Оценить с надежностью 0,95 значение измеренной величины, считая, что результаты измерений имеют нормальное распределение.

13. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана функцией . Найти : а) величину С; б) функцию распределения системы.

В а р и а н т 11