1.2 Основные законы гидравлики

Основные законы, используемые в гидравлике, - это баланс действующих сил или основной принцип динамики, выражаемый уравнением Навье-Стокса:

;

; (1.2 а)

или (1.2 б)

и баланс массы в виде уравнения неразрывности потока

. (1.3)

1.2.1 Гидростатика

Общее дифференциальное уравнение гидродинамики Навье-Стокса для случая, когда скорость равна нулю, дает дифференциальные уравнения равновесия Эйлера, которое описывает равновесное состояние жидкостей:

; ; . (1.4)

Жидкость, находящуюся в равновесии, изучает гидростатика. В гидростатике изучается равновесие жидкостей, находящихся в относительном покое, при котором в движущейся жидкости ее частицы не перемещаются друг относительно друга. При этом силы внутреннего трения отсутствуют, что позволяет считать жидкость идеальной.

Интегрирование дифференциальных уравнений равновесия Эйлера дает основное уравнение гидростатики:

(1.5 а)

или . (1.5 б)

Основное уравнение гидростатики является частным случаем закона сохранения энергии. Согласно данному уравнению сумма удельных потенциальных энергий положения и давления в покоящейся жидкости есть величина постоянная и равная полному гидростатическому напору.

В уравнении (1.5) величина Z характеризует расстояние данной точки от произвольно выбранной горизонтальной плоскости отсчета. Ее называют нивелирной высотой или геометрическим напором. Величина Z характеризует удельную потенциальную энергию положения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения.

Величину называют гидростатическим или пьезометрическим напором. Данная величина представляет собой удельную потенциальную энергию давления в данной точке.

Переписав основное уравнение гидростатики (1.5, б) относительно р₂, получим закон Паскаля:

. (1.6)

Из закона Паскаля следует, что внешнее давление, оказанное на свободную поверхность замкнутого объема несжимаемой жидкости, передается жидкостью одинаково всем ее точкам по всем направлениям.

1.2.2 Гидродинамика

Как уже было сказано, общим дифференциальным уравнением гидродинамики является система уравнений Навье-Стокса (1.2 а). Для случая, когда сила внутреннего трения приравнивается к нулю, получается дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (дифференциальные уравнения движения Эйлера):

;

; (1.7)

.

При интегрировании уравнения (1.7) получаем уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

, (1.8)

где z – нивелирная высота или геометрический напор. Это положение данной частицы жидкости относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения. Энергетический смысл: удельная потенциальная энергия положения;

– статический или пьезометрический напор. Это давление столба жидкости над рассматриваемым уровнем. Энергетический смысл: удельная потенциальная энергия давления;

– скоростной или динамический напор. Энергетический смысл: удельная кинетическая энергия в данном сечении потока;

H – полный напор или энергия жидкости, выраженная в метрах.

Энергетический смысл уравнения Бернулли звучит так. «Для любого сечения или точки потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной ( ) и кинетической ( ) энергий жидкостей остается величиной постоянной». Таким образом, уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии.

Физический смысл уравнения Бернулли: в любом поперечном сечении потока идеальной жидкости полная удельная энергия жидкости постоянна и равна H.

Реальная жидкость обладает вязкостью. Поэтому при её движении в закрытых каналах возникают касательные напряжения вследствие трения слоев жидкости между собой и о стенки канала. Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием, особенно в местах, где происходит изменение живого сечения или направления движения потока.

Все это требует затраты энергии, поэтому удельная энергия при движении вязкой жидкости не остается постоянной. С учетом неравномерного распределения скоростей по сечению потока и потерь энергии на преодоление сопротивления уравнение Бернулли для реальной (вязкой) жидкости приобретает вид:

, (1.9)

где – величина гидравлического сопротивления или энергия, затрачиваемая на преодоление гидравлического сопротивления. Ее еще называют «потерянный напор».

Данное уравнение используется для описания движения реальной жидкости и расчета гидравлических потерь, как от трения, так и от местных сопротивлений.

Потери напора (энергии) на преодоление гидравлических сопротивлений или, как их часто называют, гидравлические потери зависят от формы, размеров русла, скорости течения и вязкости жидкости. При этом вязкость жидкости, хотя и является первопричиной всех гидравлических потерь, но далеко не всегда оказывает существенное влияние на их величину.

Как показывают опыты, гидравлические потери, как правило, пропорциональны скорости течения жидкости во второй степени:

, (1.10)

где ξ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом потерь или коэффициентом сопротивления.

Физический смысл коэффициента потерь заключается в отношении потерянного напора к скоростному.

Гидравлические потери обычно разделяют на местные потери и потери на трение по длине:

∑h_n = h_{м +} h_тр. (1.11)

Местные потери h_м обусловлены так называемыми местными гидравлическими сопротивлениями, т.е. местными изменениями формы, размеров или направлениями русла, вызывающими деформацию потока.

Потери на трение обусловлены вязкостным трением слоев жидкости между собой и о стенки канала. Они возникают в прямых трубах постоянного сечения, т.е. при равномерном течении, и возрастают пропорционально длине трубы.

Таким образом, гидравлическое сопротивление однофазных потоков можно найти из уравнений:

(1.12)

или . (1.13)

Величину гидравлических сопротивлений необходимо знать для определения движущей силы гидромеханических (гидравлических) процессов – разности давлений между двумя точками или сечениями аппарата. Кроме этого, величина h_n необходима для определения оптимального диаметра трубопровода .