2.6. Напряженное и деформированное состояние в точке.

В предыдущем разделе рассматривалось одноосное растяжение или сжатие, т.е. внешняя сила действует строго по оси, направления элементарных сил, действующих на элементарных площадках, напряжений, параллельны оси стержня или перпендикулярны к поперечному сечению- это нормальные напряжения. Если внешняя сила будет направлена произвольно, то в теле возникнут разные напряжения: нормальные, касательные

Рис. 2.14

Напряжения на наклонной площадке.

Разрежем тонкую пластину, на которую действуют внешние силы, направленные параллельно ее граням, наклонным сечением и выделим из него элементарную треугольную призму (рис. 2.14).

Для того, чтобы эта призма находилась в равновесии, на ее гранях должны действовать напряжения:

нормальные (перпендикулярные граням) _; _х; _у;

касательные (параллельные граням) _; _ху; _ух.

Значения _ , _ не известны.

Проецируя силы, действующие на призму, последовательно на направления нормали и касательной к наклонной площадке, получим формулы для вычисления нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке

_= _хcos²+ _ysin²+ _xysin(2), (2-58)

_= 0,5(_y- _x)sin(2)+ _xycos(2). (2-59)

Если касательные напряжения равны нулю, то площадка называется главной. При этом из (2-59) получаем

2_xy /(_x- _y)= tg(2). (2-60)

Так как период тангенса равен , то существует два взаимно перпендикулярных направления, образующих с осью х углы ₀ и ₀+ /2, где касательные напряжения равны нулю, а в плоском напряженном состоянии существуют два главных напряжения. Их можно найти из уравнения (2-58) при = ₀ [1]

_= _хcos²₀ + _ysin²₀ + _xysin(2₀ )= (_х+ _y)/2+ (_х- _y)/2+

+_xysin(2₀ )= 0,5(_х+ _y) 0,5[(_х- _y)²+ 4²_xy]^1/2 .

Откуда

₁= 0,5(_х+ _y)+ 0,5[(_х- _y)²+ 4 ²_xy]^1/2 , (2-61)

₂= 0,5(_х+ _y)- 0,5[(_х- _y)²+ 4 ²_xy]^1/2. (2-62)

Заметим, что ₁> ₂.

Следовательно, плоское напряженное состояние в каждой точке тела может быть представлено как растяжение и сжатие в 2-х взаимно- перпендикулярных направлениях.

При этом отметим, что при плоском напряженном состоянии третье главное напряжение равно нулю ₃= 0.

Сложив (2-61) и (2-62), получим выражение ₁+ ₂= _х+ _у ,

из которого следует, что сумма нормальных напряжений на 2-х взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла их поворота.

Дифференцируя по углу (2-59) и приравнивая это нулю, найдем

tg(2_)= (_y- _x)/ _xy (2-63)

Подставив это равенство в (2-59), после преобразований получим

 =  0,5[(_x- _y)²+ 4²_xy]^1/2. (2-64)

Откуда следует, что при _xy= 0 максимальные и минимальные касательные напряжения равны по модулю и отличаются знаками, т.е.

 _max= 0,5₁- ₂. (2-65)

Взаимное положение главных площадок и площадок с экстремальными касательными напряжениями определяется равенством

tg2₀* tg2_T= - 1. (2-66)

Выделим теперь в теле, на который действуют разные силы, куб и нанесем на его гранях напряжения (рис.2.15). На рис. 2.15,а стороны куба параллельны координатным осям и здесь действуют нормальные и касательные напряжения. Поскольку тут имеются одинаковые парные составляющие, то в ряде случаев для изучения напряженного состояния выделяют пирамидку, а на ней- 6 компонентов сил. При этом само напряженное состояние оценивают тензором

_x _yx _zx

Т= _xy _y _zy (2-67)

_xz _yz _z .

Тензор в отличие от вектора не имеет простого геометрического толкования. Его обычно задают в виде матрицы.

Из предыдущего следует, что, повернув некоторым образом куб, можно получить такое напряженное состояние, когда касательных напряжений не будет, а останутся лишь главные напряжения (рис. 2.15,б). В этом случае каждое из напряжений в соответствии с законом Гука будет приводить к продольной относительной деформации в.

а) б)

Рис. 2.15 Объемное напряженное состояние.

направлении его вектора  _{i j}=  _i/ E и поперечной для двух других направлений  _{j i} = - _j/Е

Таким образом, относительные деформации в объемном напряженном состоянии равны

₁= Е^-1[₁ - (₂ + ₃)], (2-68)

₂= Е^-1[₂ - (₁ + ₃)], (2-69)

₃= Е^-1[₃- (₂ + ₁)], (2-70)

Заметим, что ₁ > ₂ > ₃ .

Уравнения (2-68)...(2-70) представляют собой закон Гука для объемного напряженного состояния.

Так как объем параллелепипеда равен V= abc, то изменение объема будет

V= (V/a)a+ (V/b)b + (V/c)c = bca+ acb+ bac,

а относительное изменение объема

_V= V/ V= a/a+ b/b+ c/c= ₁ + ₂ + ₃. (2-71)

С учетом (2-68)....(2-70) относительное изменение объема будет

_V= (1-2)Е^-1(₁ + ₂ + ₃). (2-72)

Если при одноосной деформации потенциальная энергия, накопленная единицей объема равна E_p1= 0,5₁₁, то при объемном напряженном состоянии

E_p3= 0,5(₁₁+ ₂₂ + ₃₃ ). (2-73)

Теории прочности

Для оценки прочности деталей применяют 4 теории прочности:

1. Теория наибольших нормальных напряжений.

Здесь развиваемые нормальные напряжения не должны превышать допускаемые значения, определяемые по специальным требованиям, т.е.

  [].

2. Теория наибольших линейных деформаций, по которой деформации не должны превышать допускаемые значения, т.е.

 [] ;  [].

3. Теория наибольших касательных напряжений, по которой опасное состояние для детали наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, при котором проявляется текучесть материала.

Условие прочности здесь записывается в форме

_max ₀,

где ₀ - предельное значение касательного напряжения при кручении.

Применяя это условие для плоского напряженного состояния, получают в предельных случаях

_экв= ₁- ₃ ₀,

а учитывая (2-61), это условие принимает вид

_экв= [(_x - _y )²+ 4²_xy]^1/2. (2-74)

Часто _у= 0 , тогда будет

_экв= [_x + 4²_xy]^1/2. (2-75)

4. Энергетическая теория прочности основана на предположении, что сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если они имеют одинаковые удельные энергии изменения формы.

В общем случае деформации часть энергии расходуется на изменение объема, а часть на изменение формы.

Из этих предположений вытекают формулы

_экв= _i= 2^-1/2[(_z- _y)²+ (_y- _x)²+ (_z- _x)² + 6(²_xy+ ²_zx+ ²_yz )]^1/2. (2-76)

_i= [2^1/2 (1+)] ^-1[(_y- _z)²+ (_z- _x)²+ (_x- _y)²+ 1,5( ²_yz+  ²_zx+ ²_xy)]^1/2 . (2-77)

Здесь буквами _i , _i обозначены, соотвественно, интенсивность напряжений и интенсивность деформаций; _ij - относительный угол закручивания.

Эти формулы справедливы как для упругой, так и для пластичной деформации [3].

Исходя из этого, обобщенный закон Гука записывается в форме

_i = E’_i , (2-78)

где E’ - называется обобщенным модулем упругости, изменяющимся по мере деформации или в зависимости от действующих напряжений.

Для плоского напряженного состояния, когда _z=0, _zx= _zу= 0 из (2-76) следует

_i= 2^-1/2[ 2_y²- 2_y_x+ 2_x² + 6²_xy]^1/2 = (_y²- _y_x+ _x ²+ 3²_xy]^1/2. (2-79)

Если же имеет место одноосное напряженное состояние (_x = 0), то получим

_i= _экв = (² + 3 ²] ^1/2. (2-80)

Соотношение (2-80) используют в качестве условия возникновения пластических деформаций _экв = _т .

Если имеет место чистый сдвиг, то при =0 из (2-80) получим касательное напряжение текучести

_т= _т / . (2-81)

Заметим, что по 3-й теории прочности _т= _т /2.

Пример 2.2:

Определить запас прочности по пластической деформации болта М 24х1,5 при F₀= 45кН; М_кр= 200Нм; _т = 650 МПа.

Внутренний диаметр резьбы d₁= 22,38 мм. Тогда

продольные напряжения равны

₁ = 4F₀ /(d²₁)= 4*45000/(22,38²)= 114,65 МПа; максимальные касательные напряжения (см. (2-96)) равны

₁ М_кр./(0,2 d³₁)= 200000/(0,2*22,38³)= 178,4 МПа.

Тогда

_экв= _i= (²₁+ 3²₁)^1/2= 325 МПа.

Запас по прочности будет n₁= _т/_i= 650/325= 2.