2.4. Линейное упругое тело.

Линейное упругое тело является частной моделью сплошного тела.

Упругим телом, по Седову [2], называется среда, в которой компоненты тензора напряжений в каждой частице являются функциями компонент тензора деформаций, компонент метрического тензора, температуры и, возможно, других параметров физико-химической природы (например, концентрации фаз).

Уравнения движения в перемещениях, уравнения Ламе, имеют вид

(+ ) grad (div w) + w+ F= a (2-33)

или в декартовой системе координат

a_x= (+ ) ( w₁ / x+  w₂ / y+  w₃ / z)/  x+

+  ( ²w₁/ x²+  ²w₁/ y²+  ²w₁/ z²)+ F_x ,

a_y= (+ ) ( w₁ / x+  w₂ / y+  w₃ / z)/  y+

+  ( ²w₂/ x²+  ²w₂/ y²+  ²w₂/ z²)+ F_y ,

a_z= (+ ) ( w₁ / x+  w₂ / y+  w₃ / z)/  z+

+ ( ²w₃ /x ²+ ²w₃ / y ²+  ²w₃ / z²)+ F_z ,

где w₁, w₂, w₃ - компоненты вектора перемещения w; a - вектор ускорения.

Вместо коэффициентов Ламе  и  в теории упругости введены модуль Юнга (модуль упругости)

E= (3+ 2)/ (+ ) (2-34)

и коэффициент Пуассона, характеризующий сужение поперечного сечения.

= /[2(+ )]. (2-35)

Эти коэффициенты можно также определить из выражений

=rl/(r l); E=  l/ l,

где  r,  l, - соответственно, отклонения радиуса сечения, длины участка, напряжения.

После упрощения уравнения Ламе записываются в форме

( ²a/ t ²)_xi = F+ (+ ) ^-1_o grad (div w) +   ^-1_o w. (2-36)

При наличии движения температура в упругом теле, вообще говоря, не остается постоянной, а меняется как с течением времени, так и от точки к точке объема, занятого упругим телом.

Однако в случае волновых процессов, распространяющихся в упругом теле, температура из-за ее малой скорости изменения может считаться постоянной, т.е. процесс будет адиабатическим.

В этой связи, полагая массовые силы равными нулю F= 0, для компонент вектора перемещения w из уравнения (2-36) выводятся уравнения [2]

 ² w₁/ x ²= a^-2₁ ²w₁/ t ², (2-37)

 ² w₂ / x ²= a^-2₂  ²w₂ / t ², (2-38)

 ² w₃ / x ²= a^-2₂  ²w₂ / t ², (2-39)

где a₁= [(_а +2_а)/ ]^1/2- скорость распространения продольной волны возмущений; a₂= (_а/)^1/2- скорость распространения поперечной волны возмущения.

Здесь указаны значения коэффициентов Ламе для адиабатических процессов. В случае изотермических процессов в качестве нижнего индекса станет применяться буква «и». Когда не учитываются термодинамические особенности, то индексы не будут применяться.

Следовательно, плоская упругая волна представляет собой две независимо распространяющиеся волны. В одной смещение w₁ совпадает с направлением распространения самой волны. В другой - смещение лежит в плоскости, ортогональной к ее направлению, т.е. существуют две скорости звука. Например, для железа a₁ = 7000 м/с, а₂ = 3200 м/с. Поперечная волна сопровождается вращением частиц среды, но в ней не происходит изменения их объема. В продольной- наоборот, изменяется объем частиц, но нет вращения.

Скорость продольных волн в изотропной твердой среде в справочнике по физике Яворского В.М., Детлафа А.А. описывается также выражением

a₁= [E ^-1(1- ) (1+)^-1 (1- 2)^-1]^1/2= (E ^-1)^1/2, (2-40)

а поперечных

a₂=(G/ )^1/2 , (2-41)

где G= E/[2(1+)] - модуль сдвига; = [1- 2²/(1-)]^-1/2.

Для стали модуль упругости (продольной упругости) равен Е 2,1*10⁵МПа, коэффициент Пуассона - = 0,24- 0,28; модуль сдвига G 8*10⁴МПа. Тогда из (2-40) получим

а₁ 1,106(Е /)^1/2.

Если полагать плотность, коэффициенты Ламе постоянными для данного материала, то, экспериментально определив скорость распространения звуковой волны, величину модуля упругости можно вычислить из выражения

E= a²₁/ ². (2-42)

Использованные выше коэффициенты в общем случае зависят от многих факторов. Поэтому при точных расчетах необходимо учитывать переменность указанных величин.

При растяжении (сжатии) упругую деформацию металла в машинострои-тельной практике описывают законом Гука = E. Здесь  =  l/ l- относительное удлинение.

Вообще, вопросами передачи энергии через металлические детали занимается также реология. До настоящего времени при традиционном подходе в этом процессе весьма много неясностей. Существует ряд гипотез и соответствующих феноменологических моделей Максвелла, Фойгта, Зинера.

Так, из часто применяемой при анализе модели Зинера следует, что передачу движения через элементарную частицу вещества можно описать общим уравнением

+ _ d/dt = Е₁(+_ d/dt ), (2-43)

где Е₁ - модуль упругости при изотермическом процессе депформации; _2- время релаксации при условии постоянной деформации; _ - время ретардации (запаздывания); - деформация.

Реологические исследования дали основание ввести дополнение к закону Гука, учитывающее особенности передачи динамических воздействий и записываемое в преобразованиях по Лапласу (см. подробнее гл.3) следующим образом:

Е_= (j)/ (j)= E_u + jE, (2-44)

где  - частота колебаний.

Это уравнение позволяет представить процесс прохождения гармонического сигнала в виде частотной характеристики, показанной на рис. 2.4

Рис. 2.4

Особенность прохождения гармонического сигнала через металл (’_ = _E₂/E₁; E₂ - модуль упругости при адиабатической деформации;  - сдвиг по фазе).

Измеряя скорость распространения звуковых волн, коэффициент затухания и учитывая значение  (см.(2-40)) , можно определить Е_. Кроме того, для процесса передачи мощности характерна нелинейная зависимость- гистерезисная петля, показанная на рис.2.5 .

Рис.2. 5.

Гистерезисная петля.

Если обратиться к кристаллам, то закон упругой деформации может быть выведен из рассмотрения упругого взаимодействия атомов. Взаимосвязь сил отталкивания и притяжения имеет такой же характер, как и при взаимодействии ионов и электронов в атоме рис.2.6.

На больших расстояниях а притяжение и отталкивание пренебрежительно малы, но при сближении они возрастают. При таком выводе следует, что в зоне больших упругих деформаций или больших напряжений закон Гука становится нелинейным. Об этом свидетельствует и форма гистерезисной петли.

В случае скручивания закон Гука записывается в форме  = G- для малых деформаций. Здесь - максимальное касательное (скалывающее) напряжение; G- модуль сдвига (для стали G= 8*10⁴ МПа); - угол сдвига (поворота) в радианах. Полный поворот сечения на расстоянии z от начала координат равен =‘z, где ‘= =d / dz- относительный угол закручивания.

Рис. 2.6. Зависимость энергии взаимодействия Е_вд между ионами и электронами в кристалле: 1- силы отталкивания; 2- силы притяжения; Е_вд- суммарная энергия взаимодействия.

Модули упругости определяют статическими и динамическими методами.

Статические. Под действием нагрузки происходит растяжение, измеряя которое, определяют модуль упругости E.

Недостаток заключается в том, что для получения точного результата нужна большая деформация, но при этом есть вероятность пластической деформации.

Динамические. Модуль сдвига G определяют по частоте крутильных колебаний. Модуль упругости E определяют по частоте изгибных колебаний.

Импульсный метод основан на определении скорости распространения волн через образец.

При всестороннем сжатии

= KV/ V, (2-45)

где К- модуль всесторонней объемной упругости; V - изменение объема.

Приближенно V/ V  3 l/ l= 3 / E, т.е. /К= 3/Е. Откуда К= Е/ 3.

В практике машиностроения обычно полагают E= const, G= const.

С учетом изложенного, с достаточной для практических расчетов точностью уравнение продольных колебаний можно записать в форме

 ²u /  t ²= (E/) ²u / x², (2-46)

где u - перемещение вдоль оси.

При скручивании вала, стержня происходит последовательный поворот множества плоских поперечных сечений на расстоянии по оси друг от друга dx. Причем, как показывает теория упругости [2], эти сечения практичеси поворачиваются как твердые диски. Следовательно, точки двух сечений находящиеся на расстоянии r_i от оси при повороте сечения на угол d смещаются друг относительно друга на расстояние

dw₂= r_id. (2-47)

Поэтому в случае отсутствия продольных колебаний и при действии только скручивающего импульса в стержне возникнут скручивающие движения, когда каждая точка от близлежащей будет смещаться на расстояние dw₂. Подставим (2-47) в уравнение (2- 38) и сократим на r_i

 ² /  t ²= (G /) ² / x². (2- 48)