2.2. Теорема Гаусса - Остроградского.

Рассмотрим в движущейся среде в момент времени t индивидуальный объем V сплошной среды, ограниченный поверхностью . В каждой точке этой поверхности выберем внешнюю по отношению к V нормаль n . В момент времени t + t этот объем перейдет в объем V, а  - в поверхность , ограничивающую V.

Изменение объема V- V= _ntd, где _n - проекция скорости  на нормаль n; d - элементарная площадь поверхности .

Уменьшение V по отношению к V учитывается условием, что нормаль всегда внешняя к V. Скорость изменения объема равна

lim (V-V ₀)/ t



t0

= _n d (2-13)

Рис. 2.1.

К теореме Гаусса- Остроградского.

В том числе для бесконечно малого объема V^*, ограниченного поверхностью ^*

lim (V ^*-V ^* ₀)/ t =

t0

_n d

Из определения дивергенции следует

_n d= [ucos(n, x)+ v cos (n, y) + w cos(n, z)] d  =

= V^*div + V^*= ( u/ x+  v/y+  w/ z)d, (2-14)

где  - элементарный объем.

Здесь находящиеся в левой части интегралы, взятые по смежным поверхностям ^*, в силу противоположных направлений нормалей к ним сократятся и в пределе останется только интеграл по внешней поверхности .

Выражение (2-14) представляет собой теорему Гаусса-Остроградского о преобразовании интеграла, взятого по замкнутой поверхности , в интеграл, взятый по ограниченному этой поверхностью  объему V.

Уравнение (2-14) можно переписать в виде, независимом от выбора системы координат

_n d = div  dt. (2-15)

2.3. Уравнения движения сплошной cреды.

В теоретической механике в основном имеют дело с сосредоточенными или концентрированными силами, т.е. действующими в точке. В механике сплошной среды рассматриваются распределенные силы, т.е. силы, действующие в каждой части объема V или на каждом элементе поверхности  сплошной среды. Причем при стремлении бесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю главный вектор действующих на него сил также стремится к нулю.

Силы, распределенные по объему V, называются объемными или массовыми. Пусть F главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы m. Тогда плотность массовой силы в данной точке

 = lim F / m . (2-16)

m0

Для малой частицы F   m.

Иногда рассматривают силу Ф, приходящуюся не на единицу массы, а на единицу объема

Ф= lim (F /V) ,

V 0

т.е. Ф=  . Размерностью произведений ФdV и dm является сила; размерностью  является ускорение, а Ф- ускорение, умноженное на размерность плотности  сплошной среды.

Массовыми силами являются: сила тяжести (вес); гравитационные силы; силы инерции; электромагнитные силы.

В механике абсолютно твердого тела действие любой системы сил эквивалентно действию ее главного вектора и главного момента. В механике деформируемых сред существенен характер распределения сил по телу. Если, например, металлический шток продольно перемещается в среде, плотно его обжимающей по цилиндрической поверхности, то по этой поверхности на шток действуют поверхностные силы. Здесь

p= lim (P/ f) - плотность распределения внешних поверхностных сил;

f0

P - изменение суммарной силы, действующей на цилиндрическую поверхность штока; f - ограниченный участок поверхности штока.

В общем случае внешние поверхностные силы могут действовать не по всей длине тела, а во множестве мест, распределенных случайным образом по длине. Так происходит при бурении нефтяных и газовых скважин, где труба, имеющая меньший наружный диаметр по сравнению с внутренним диаметром поверхности затрубного пространства, под действием разного рода нагрузок изгибается и трется о стенки скважины.

Выделим в сплошной среде тела некоторый произвольный объем V и разобьем его сечением S на две части V₁ и V₂. (рис. 2.2)

Если рассматривать движение одной из частей, например V₁, то действие на нее второй части V₂ необходимо заменить распределенными по V₁ массовыми силами и распределенными по S поверхностными силами.

Сечение S можно проводить по-разному, и тогда распределенные по поверхности S силы будут различаться.

Рис. 2.2

Силы внутренних напряжений

Возьмем некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в ней различные площадки df. Ориентацию этих площадок будем определять нормалью n к ним, а полную силу, действующую со стороны части среды в объеме V₂ на часть среды в объеме V₁ на площадки df с нормалью n обозначим через d P. Далее примем d P= =  _n d f , где  _n - конечный вектор.

Вектор _n можно рассматривать как поверхностную плотность силы взаимодействия разделенных частей вдоль площадки d f. В общем  _n может зависеть от ориентации площадки d f и других ее геометрических свойств. Направление нормали n будем выбирать всегда так, чтобы она была внешней по отношению к той части среды, на которую действует вводимая сила _ndf. Так, например, влияние объема V₂ на V₁ будем заменять распределенными силами _n df, а влияние объема V₁ на V₂ - распределенными силами _-n df = - _n df (рис.2.2). Такого рода поверхностные силы можно вводить в любой точке сплошной среды. Это силы внутренних напряжений.

С

илу _n df в каждой точке сплошной среды можно разложить на две составляющие - по нормали n и касательной  к элементарной площадке df (рис. 2.3):

Рис.2.3 Разложение сил внутренних напряжений.

_ndf=  _nn n df + _n  df , где  _nndf - нормальная компонента силы внутреннего напряжения; _ndf- касательная или тангенцальная сила (сила внутреннего трения).

Поверхностные силы  _n df могут быть и внешними.

В каждой точке M сплошной среды существует бесконечно много векторов  _n , соответствующих бесконечному набору площадок df, проходящих через эту точку. Однако между ними имеется универсальная, независящая от частных свойств движущейся среды, связьdzpp.ений и ___________________________________________________________________________________________________________________.

Уравнение количества движения (импульса).

Основным динамическим уравнением движения материальной точки является 2-й закон Ньютона F = m a , где a= d  /dt

Так как масса постоянна m= const, то

m d  / dt = d( m) / dt= F. (2-17)

Произведение m называется количеством движения точки или импульсом.

Для системы из n материальных точек с массой каждой из них m, движущихся со скоростью v_i можно написать d(m_i _i) / dt = F_i ,

d(m_i _i)/ dt= d ( m_i _i)/ dt= F_i ^(e). (2-18)

Здесь справа стоит сумма только внешних по отношению к системе сил, т.к. внутренние силы взаимодействия по 3-му закону Ньютона существуют попарно и при суммировании сокращаются. Выражение (2-18) можно переписать

Q= m_i _i= m ^*, (2-19)

где m= m_i - масса всей системы;  ^* - скорость центра масс системы из точек.

Причем  ^*= m^-1 m_i _i

Вектор Q называется количеством движения системы. Тогда уравнение количества движения для системы из n материальных точек можно записать в форме

d Q/ dt= F_i^(e) или m d  ^*/ dt= F_i^(e). (2-20)

Производная по времени от количества движения системы материальных точек равняется сумме всех действующих на систему внешних сил.

Для конечного индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью  , напишем уравнение количества движения

dQ/ dt= Fd + _ndf, (2-21)

где Q=  d (d- элементарный объем); Fd - сумма внешних массовых сил и _ndf - сумма поверхностных сил, действующих на среду в объеме V, соответственно.

Следовательно, для любого индивидуального объема V сплошной среды можно записать уравнение количества движения

d ( d)/ dt= Fd + _ndf. (2-22)

Если на массу в объеме V дополнительно действуют еще внешние сосредоточенные в точке силы или силы, сосредоточенные вдоль некоторых линий, то их сумму надо добавить в правую часть (2-22).

С учетом теоремы Гаусса- Остроградского уравнение (2-22) можно переписать в дифференциальной форме при = const [2]

 d  / dt= F +  ₁ / x+ ₂ /  y+  ₃ /  z , (2-23)

где ₁ , ₂ , ₃ - напряжения, направленные параллельно координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение моментов количества движения

Умножив уравнение md/dt= F векторно слева на радиус вектор рассматриваемой точки массой m относительно некоторой точки О- начала инерционной системы координат, получим уравнение моментов количества движения для точки

dK/ dt= Ф, (2-24)

где K= r x m; Ф = r x F.

Для массы n материальных точек с массами m_i , движущимися со скоростями _i , можно написать

d(r_i x m_i _i)= r_i x F_i ,

где F_i - главный вектор всех, в том числе и внутренних сил по отношению ко всей системе сил, действующих на рассматриваемую точку с массой m_i.

В сумме для K= (r_ix m _i) получим

dK / dt= ( r_ix F_i ^(e)). (2-25)

Здесь справа в силу 3-го закона Ньютона стоит сумма моментов только внешних для всей системы сил.

Следует отметить, что момент количества движения системы материальных точек можно записать в форме

K= r^* x m^*+ (r_{i отн}х m_{i отн}) , (2-26)

где m= m_i ; r^*, ^*- радиус- вектор и скорость движения центра масс; r_{i отн} , _{i отн} - радиус- вектор и скорость движения i-й точки относительно центра масс и движущейся вместе с центром масс.

Моментом количества движения конечного объема V сплошной среды обычно называют [2]

K= r x  d , (2-27) где r - радиусы- векторы точек сплошной среды относительно некоторой неподвижной точки O, а  - их скорости.

Если скорость объема  сплошной среды = ^*+  _отн , где ^* - скорость рассматриваемой точки относительно центра масс, то можно записать

K= r x Q+ r_отн х _отн  d ,

где Q= m ^*- количество движения материальной точки массы m, совпадающей с центром масс.

Возможна также запись K^*= r_отн х _отн  d .

Момент количества движения равен [2]

K= r x  d + k  d, (2-28)

где k - плотность собственных или внутренних моментов количества движения.

С учетом изложенного, уравнение моментов количества движения системы материальных точек конечного индивидуального объема V сплошной среды можно записать в форме

d( r x  d + k  d)/dt=

= r x а d + r x _ndf + hd+ _ndf. (2-29)

Производная по времени от момента количества движения произвольного индивидуального объема V сплошной среды (с учетом собственных моментов) равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, и сумме моментов, действующих на этот объем распределенных массовых и поверхностных пар, вызванных внешними по отношению к объему материальными объектами. Здесь вектором а обозначено ускорение от массовых сил, например ускорение свободного падения.

Уравнения (2-22) и (2-29) являются базисными векторными уравнениями, и они применяются для любых сплошных сред и любых движений.

В классическом случае уравнение (2-29) при отсутствии внутренних моментов количества движения и распределенных массовых и поверхностных пар имеет вид

d( r x  d)/dt= r x а d + А df, (2-30)

где А= r x _n

В случае непрерывных движений сплошной среды можно, воспользовавшись равенством А= А₁ cos (n, x)+ А₂ cos(n, y)+ А₃ cos(n, z) и теоремой Гаусса- Остроградского, получить

Аdf= divА d .

Моменты распределенных поверхностных пар можно представить в виде Q_n= Q_in_i .

Тогда с помощью теоремы Гаусса- Остроградского Q_ndf= div Qd .

Полагая dm= d= const, уравнение (2-29) перепишем

d ( r x  + k  d)/dt= r x а d + [divА + div Q] d + hd .

Откуда в дифференциальной форме

d ( r x  + k)/dt=  r x а + divА + div Q + h . (2-31)

Так, для вращающегося относительно своей оси с угловой скоростью  стержня при отсутствии массовых сил (а=0), распределенных массовых (h=0) и поверхностных пар (Q=0) дифференциальное уравнение момента количества движения запишется  (r²) /  t= (r)/ x.

Здесь k= r² ; А/ х= (r)/х;  - касательные напряжения по сечению стержня.

Если рассматривать максимальные касательные напряжения на наружной цилиндрической поверхности радиусом r_o и учитывать, что возникающие напряжения направлены в противоположную от скорости движения сторону, то это уравнение можно переписать в форме

r_o   /  t= -  _max /  x. (2-32)

Положим теперь, что на стержень действуют какие-либо внешние объекты, приводящие к появлению распределенных поверхностных пар.

Тогда можно записать  (r²)/  t= (r)/ x +  Q / x.

Пусть при вращении на индивидуальный объем среды действует сила трения, создающая, момент = rх vhdf , где v- скорость скольжения поверхности стержня относительно контактирующей поверхности; h - коэффициент трения.

Из теоремы Гаусса- Остроградского следует

= rх vhdf= div (rх vh)d

Так как это взаимодействие происходит только по поверхности, то r= r_o. В связи с чем  Q / x=  (r²_o h)/ x.

Из последнего равенства следует, если h= const, то  Q /  x = 0. Обычно коэффициент потерь на трение является функцией скорости скольжения, необязательно линейной. Связь с длиной стержня может быть и есть, например, при проводке скважин, но весьма неоднозначная.