5.5. Цилиндрические зубчатые передачи [4].

Простейшая зубчатая передача состоит из 2-х зубчатых колес. При этом меньшее колесо называют шестерней, а большее- колесом. Обычно шестерня является ведущим звеном, а колесо- ведомым. Поэтому параметры шестерни имеют нижний индекс “1”, а колеса- “2”.

На рис. 5.33 показано взаимодействие зубьев шестерни и колеса.

Здесь Р является делительным шагом; d_w1, d_w2- начальные диаметры соответственно шестерни и колеса, по которым пара зубчатых колес обкатывается в процессе вращения. При этом, если нет смещения или оно в сумме равно нулю, то начальные диаметры равны делительным диаметрам, т.е. d_w1= d ₁, d_w2 = d₂. На рис. 5.33 изображен такой случай. (При нарезании со смещением делительная плоскость рейки (делительная окружность инструмента) смещается к центру или от центра заготовки на величину xm). П- полюс зацепления.

а)

б) в)

Рис. 5.33 Зубчатое зацепление:а) геометрия зацепления; б) рейка для нарезания зубьев; в) схема нарезания зубьев

Профиль зуба показанного зацепления называется эвольвентным.

Окружным модулем зубьев (основной характеристикой их размеров) называют соотношение m= P/. Его значения стандартизированы. Так как на длине делительной окружности укладывается z зубьев, то d= Pz, откуда следует d= Pz/= mz - делительный диаметр.

Угол _w называется углом зацепления или углом профиля начальным. Обычно _w= 20.

Расстояние между осями ОО₁ равно A= 0,5(d_w1 + d_w2).

Если нет смещения¹⁷ , то А= A_w = 0,5 m(z₁+ z₂); h= 2,25 m- высота зуба; d_a= d+ 2m- диаметр вершин зубьев; d_f= d- 2,5m- диаметр впадин зубьев.

Контактные напряжения образуются в точке А_к в месте соприкосновения криволинейных поверхностей зубьев. Максимальное контактное напряжение можно определить из выражения

_H= {q(_пр)^-1E₁E₂/[E₁(1- ²₂)+ E₂(1- ²₁)]}^1/2  0,418 (qE_пр^-1_пр)^1/2, (5-32)

где = 0,25...0,35 - коэффициент Пуассона; E_пр= 2E₁E₂ /(E₁+ E₂)- - приведенный модуль упругости; ^-1_пр= r^-1₁ r^-1₂- приведенная кривизна; q - удельная по длине нагрузка.

Знак “-“ используется тогда, когда поверхность зуба вогнута (зацепление Новикова).

При вращении в точке контакта А_к поверхность под действием нормальной силы периодически нагружается и разгружается, а контактные напряжения изменяются прерывисто от нуля до некоторого максимального значения. Кроме того, при передаче крутящего момента в зацеплении действует сила трения, связанная со скольжением и качением. Причем 1-я максимальна. Эти обстоятельства приводят к переменным высоким нагрузкам в зоне контакта, изгибающим напряжениям в основании зуба. В совокупности действующие силы вызывают усталость поверхностных слоев металла и металла в основании зуба и, как следствие, появление потертостей, трещин, поломок зубьев. В случае появления трещины масло, если оно используется в редукторе, проникает в микротрещины и при обкатывании создает в образующейся полости высокое давление, приводящее к дополнительному возрастанию трещины....

Решающее влияние на работу зубчатых колес оказывают контактные и изгибающие напряжения. В процессе работы могут быть поломки зубьев; усталостное выкрашивание рабочих поверхностей; абразивный износ; заедание (развивается из-за высокой температуры в зоне контакта, приводящей к свариванию).

Расчетной нагрузкой называется такая нагрузка, при которой имеет место максимальная удельная нагрузка, распределенная по линии контакта зубьев

q= F_nK/ l_, (5-33)

где F_n - нормальная сила в зацеплении; K= К_ К_ - коэффициент расчетной нагрузки (для контактной нагрузки он записывается в форме K_Н = К_Н К_Н ;для изгибающей нагрузки- в форме K_F = К_F К_F); К_ - коэффициент концентрации нагрузки; К_ - коэффициент динамической нагрузки; l_ - суммарная длина линии контакта.

Концентрация или неравномерность распределения нагрузки по длине зуба связана с деформацией валов, корпусов, опор, зубчатых колес, погрешностями изготовления передачи.

В общем виде К_= q_max/ q_cp.

При постоянной нагрузке и HB< 350 и < 15 м/с K_= 1.

Коэффициент К_ определяют из соотношения

К_= 1+ q_ / q,

где q_ , q - удельные динамическая и расчетная в зоне ее наибольшей концентрации нагрузки.

Для приближенной оценки К_, K_ определяют из таблиц и графиков.

В процессе вращения крутящий момент меняется с частотой

= z /(2),

где z - число зубьев колеса;  - угловая частота вращения колеса.

Силы в зацеплении.

Обычно в основе расчета всех сил зацепления лежит окружная сила

F_t= 2M_кр1 /d_w1  2M_кр1/ d₁. (5- 34)

Далее рассчитываются

радиальная сила

F_r= F_t tg_w; (5-35)

нормальная сила, действующая в точке А под углом _w

F_n= F_t /cos_w. (5-36)

Если же рассматривать физический процесс, то исходной является нормальная сила, разлагающаяся на радиальную и окружную.

Поскольку наименьшая контактная выносливость имеет место в около полюсной зоне, то расчеты на прочность выполняют в полюсе зацепления П.

Контактные напряжения определяют с помощью выражения (5-32). Если учесть, что радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке касания описывается выражениями ₁= d_w1sin(_w/2); ₂= d_w2sin(_w/2), а также, что удельная расчетная рабочая нагрузка в зоне зацепления q= F_nK_н/b_w= F_t K_н/(b_w cos_w), то получается

_Н= 1,18 {E_npM_кр1К_Н (u 1)u^-1[d²_w1b_wsin(2_w)]}^1/2 [_Н], (5-37)

где b_w - ширина зуба; [_Н] - допускаемое контактное напряжение (определение его будет рассмотрено ниже). Знак “-” берется для вогнутого зацепления. В последующем будем рассматривать только эвольвентное зацепление.

Параметр u= z₂/z₁= d_w2/ d_w1 называется передаточным числом или передаточным отношением. Обычно для редуктора u> 1. В принципе передаточное число для зубчатой передачи может быть меньше нуля, меньше единицы и поэтому, в общем, оно обозначается буквой “i”. Значения расчетных напряжений одинаковы для колес и шестерен. Поэтому расчеты на прочность производятся для колеса (обычно у него меньше допускаемые напряжения).

При проектном расчете надо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: М_кр1; М_кр2; u.

С этой целью уравнение (5- 37) решают относительно А или d₁. Другие неизвестные параметры оценивают приближенно. Так, принимают

d_w1 d₁; _w= = 20.

Затем в первом приближении могут принимать какие-либо другие параметры. Здесь принимаем, что отношение ширины колес к межосевому расстоянию равно ‘_ba = b_w/ A= 0,4.

Тогда коэффициент ширины шестерни ‘_bd= b_w/d_w1= =0,5‘_ba(u+1).

С использованием таких данных далее рассчитываем межосевое расстояние

A= 0,85 (u+1){E_npM_кр2K_Н /([_H]²u²‘_ba)}^1/3, (5-38)

где K_Н- коэффициент концентрации контактной нагрузки определяем из графика, учитывающего значение ‘_bd и особенностей конструкции данной передачи.

Расчетную величину А округляют по стандартному ряду.

Затем определяем ширину зуба колеса

b_w= 0,4*А.

Модуль зацепления выбирается в зависимости от ширины зуба. Отношение ‘_m= b_w/ m выбирается из таблицы, где учитываются особенности конструкции и работы узла. Тогда

m= b_w/‘_m. (5-39)

Затем по этому значению выбирается значение модуля из стандартного ряда.

При выборе модуля зацепления следует учитывать:

1. Мелкомодульные колеса с большим числом зубьев предпочтительны по условиям плавности хода передачи и экономичности.

В таком зацеплении уменьшаются потери на трение, сокращается расход материалов.

2. Крупномодульные колеса с большим объемом зуба дольше противостоят износу, могут длительно работать после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам т неоднородности материала.

После определения модуля зацепления уточняют все остальные параметры передачи:

суммарное число зубьев

z_= 2A/m;

число зубье шестерни

z’₁= z_ /(u+1);

(При z’₁< 17 зацепление следует выполнять со смещением. Иначе произойдет подрезание зубьев (см. рис.5.34). Подробно такой случай рассмотрен в [4]. В случае положительного смещения толщина зуба возрастает, а при отрицательном- уменьшается)

.

Рис. 5.34

Подрезание зубьев

число зубьев колеса

z’₂ = z_ - z₁;

фактическое передаточное отношение

u’= z’₂/z’₁;

делительные диаметры шестерни и колеса

d₁’= z’₁m; d₂= z’₂ m.

Если u’ и задаваемое передаточное отношение отличаются свыше 4%, необходимо варьированием коэффициента ‘_ba выбрать новые межосевое расстояние, ширину зуба, модуль и вновь рассчитать число зубьев.

Затем для выбранного m проверяем прочность зуба по контактному напряжению.

При этом определяем окружную скорость

= d₂n₂/(60*1000). м/с

По таблице [4] назначаем, например, 9-ю степень точности и определяем К_Н , а с учетом выше выбранного значения K_H получим K_H= K_H К_Н. После этого при = _w= 20 находим контактное напряжение между зубьями

_Н= 1,18 {E_npM_кр1К_Н (u+ 1)u^-1[d²_w1b_wsin(2_w)]}^1/2, (5-40)

которое должно быть меньше допускаемого контактного напряжения. Если разница между получившимся значением _Н и допускаемым значением превышает 4%, то следует подбором b_w, m выбрать параметры, удовлетворяющие данному требованию.

После этого расчета проверяется прочность зуба на изгиб.

Наибольшие напряжения образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Из-за сложности профиля точный расчет возможен только в рамках теории упругости с применением ЭВМ. На практике такой расчет выполняется с использованием графика, иллюстрирующего связь коэффициента формы Y_F с числом зубьев шестерни и колеса. Далее определяются отношения [_F2]/ Y_F2 ; [_F1]/ Y_F1.

Дальнейший расчет проводим для пары, у которой это отношение меньше.

По графику, учитывающему коэффициент ‘_bd, особенности конструкции пары, определяем коэффициент K_F. Затем из таблицы, устанавливающей соответствие между указанным коэффициентом, степенью точности и скоростью движения , находим коэффициент K_F. Тогда K_F= K_F K_F.

Рассчитаем окружную силу

F_t2= 2M_кр2/ d₂.

Тогда напряжения изгиба в основании зуба

_F2= Y_F2F_t2K_F/(b_wm), (5-41) которое не должно превышать допустимых значений.