5.3.7. Динамические свойства машин (приборов).

Работу любой машины (прибора) можно описать следующими дифференциальными уравнениями:

_W_p= M_кр0+ h+ J_пр d/dt, (5-10)

₁- = _пр W_p d_/dt, (5-11)

где _ - напряжение (касательное или нормальное) в сечении выходного вала (штока, штанги);  - скорость движения исполнительного органа; ₁ - скорость движения на входе в машину; J_пр - инерционная характеристика на выходном вале (приведенные момент инерции или масса); _пр - приведенный коэффициент упругости магистралей машины; h- приведенный коэффициент потерь на трение, пропорциональное скорости движения; W_p- геометрическая характеристика рассматриваемого сечения силовой магистрали, обычно примыкающего к исполнительному органу.

Структурная схема передачи мощности аналогична рис.3.5.

Уравнения (5-10), (5-11) справедливы как для крутильных, продольных, так и для поперечных колебаний. Однако коэффициенты в таком случае будут разными.

Так, для продольных колебаний в механизме с цилиндрической штангой диаметром d, длиной l следует принимать:

W_p= f= d²/4- площадь сечения штанги; M_кр0= F₀ - продольная сила; = , ₁ = ₁ - скорости продольного перемещения; J= m_пр - приведенная масса перемещающихся частей; _пр= l/(fE); E- модуль упругости;

для крутильных колебаний в механизме с цилиндрическим валом диаметром d, длиной l -

W_p= d³/16- полярный момент сопротивления сечения вала; M_кр0- крутящий момент; , ₁ - угловые скорости вращения; J_пр - приведенный момент инерции вращающихся частей; _пр= 32l/(Gd⁴); G- модуль сдвига;

для изгибных (поперечных) колебаний механизма с цилиндрической балкой диаметром d длиной l расчет коэффициента упругости достаточно сложен и его для простых случаев можно определять с помощью выражения _пр= y_ст /(mg), где y_ст - прогиб от статической нагрузки, определяемый известными методами сопромата; m_пр - масса груза .

(Примеры определения коэффициентов упругости для сложных случаев приведены в разделах 3.5…3.8).

Совместное решение системы уравнений (5-10), (5-11) приводит к уравнению

(t) (1+ h_прp+ J_пр _прp²)= ₁(t) - M_p0(t) _прp, (5-12)

где р d/dt- оператор дифференцирования.

Это уравнение может быть переписано в комплексной форме с помощью преобразований по Лапласу (см. раздел 3.5)

(s)(1+ h_прs+ J_прs²)= ₁(s) - M_p0(s)_прs, (5-13)

где s- оператор Лапласа; (s), ₁(s), M_p0(s) - изображения по Лапласу функций (t), ₁(t), M_p0(t).

Такое преобразование дает возможность получить передаточные функции влияния скорости движения ведущего вала и колебаний силы на скорость движения исполнительного органа

W_(s)= (s)/ ₁(s)= 1/(1+ h_прs+ J_пр _прs²), (5-14)

W_M(s)= (s)/ M_p0(s)= -_прs /(1+ h_прs+ J_пр _прs²). (5-15)

Преобразование по Лапласу позволяет подстановкой в (5-14), (5-15) s= j, где  - круговая частота колебаний, рассчитать и построить частотные характеристики машины, иллюстрирующие влияние

колебаний скорости движения ₁ входного участка вала на

колебания скорости движения выходного звена 

W_( j)= 1/[1+ h_пр j+ J_пр_пр(j)²], (5-16)

колебаний силы сопротивления M_p0 на колебания скорости

движения выходного звена 

W_M( j)= -_пр j /[1+ h_пр j+ J_пр _пр(j)²]. (5-17)

После приведения подобных членов получим выражения для

определения модуля частотных характеристик

А_= [(1- J_пр²)²+ (h_пр )²]^-1/2; (5-18)

А _M= _пр  [(1- J_пр _пр²)²+ (h_пр )²]^-1/2. (5-19)

Из (5-17), (5-19), пользуясь свойствами преобразований по Лапласу, можно определить амплитуду колебаний перемещения выходного звена под действием колебаний нагрузки

Y _M= _пр M_po [(1- J_пр _пр²)²+ (h_пр )²]^-1/2. (5-20)

Из этих выражений видно, что при некоторых частотах модуль частотной характеристики, а значит и амплитуда колебаний, могут сильно возрастать. Такая частота называется резонансной или собственной для данного механизма

 _рез = 1/( J_пр _пр)^1/2 . (5-21)

При этой частоте амплитуда колебаний перемещения равна

Y _M= (J_пр _пр)^1/2 M_po h^-1. (5-22)

Из (5-22) видно, что при h=0, т.е. в случае отсутствия потерь на трение, Y _M . Поэтому работа в резонансном режиме обычно приводит к разрушению. Увеличение коэффициента упругости, например, введением эластичных материалов или пружин, уменьшает резонансную частоту. При этом, если рабочая частота не находится в зоне резонанса, амплитуда колебаний тоже снизится.

Выше приведенные выражения применены для машин или приборов, где силовую часть можно считать системой с сосредоточенными параметрами. В действительности все механические системы более точно описываются, как системы с распределенными по длине параметрами [6]. В таком случае приведенные выражения позволяют оценить поведение системы при частотах, близких 1-й резонансной или 1-й собственной частоты. Последующие резонансные всплески несут меньше энергии и поэтому часто менее опасны для механизма.

Динамические свойства машин характеризуются также сдвигом по фазе . Этот параметр описывает отставание выходного сигнала от входного. Его значение, например для передаточной функции (5-17), можно определить с помощью выражения

= arctg(_пр )- arctg[_пр h/(1- J_пр _пр ²)]. (5-23)

Запишем также выражения для определения резонансных частот в разных механических системах:

крутильные колебания

 _рез = (_пр J_пр ) ^-1/2 , (5-24)

где для диска J_пр = mR²/2);

продольных колебаний

 _рез = (_пр m_пр ) ^-1/2 , (5-25)

поперечных колебаний

 _рез = (_пр m_пр) ^-1/2. (5-26)