1. 4. Условия работы машины и причины отказов.

В одних типах устройств в широких пределах меняется режим работы, в других- режимы меняются циклично. В результате отказы различных элементов образуют случайный поток событий.

В основе всей теории надежности лежат сведения об отказах. Эти сведения могут быть даны в эмпирической или аналитической формах.

Если после испытаний получена информация об отказах, то методами математической статистики можно найти по этим данным статистическую модель, описывающую явление. Может быть и обратная задача, когда задается статистическая модель, а по ней определяются характеристики надежности системы.

Существуют разные подобные характеристики.

Наиболее часто используется нормальное распределение (Гауссово).

Выражение плотности нормального распределения записывается в форме

f(x, m,)= [(2)^1/2 ]^-1exp{-(x- m_[)²/(2)}; (1-12)

0<x< ; 0< m_x <  ; > 0.

Здесь m_x - среднее значение или математическое ожидание (параметр, характеризующий центр распределения); - средне- квадратическое отклонение случайной величины x (параметр, характеризующий масштаб распределения). Поэтому x_cp= m_x.

Кривая, иллюстрирующая эту функцию, приведена на рис 1.4.

Исходными данными для определения распределения служат наблюдаемые значения случайной величины, сгруппированные в интервалы, по которым строится гистограмма или график плотности распределения. По этим графикам, в ряде случаев с помощью ЭВМ, находится закон распределения случайной величины. Часто пользуются приближенными рекомендациями.

Рис. 1.4

Плотность нормального распределения

Нормальное распределение обладает тем свойством, что композиция случайных ве-личин с нормальным законом распределения есть тоже нормальное распределение.

Экспоненциальное распределение служит распространенной статистической моделью для времени безотказной работы. Оно предполагает, что отказы происходят независимо друг от друга с постоянной интенсивностью.

Важно только, чтобы каждый элемент в отдельности не оказывал очень большого влияние на вероятность выхода из строя всей системы. Это распределение часто описывает распределение времени безотказной работы систем, в которых каждый отказавший элемент немедленно заменяется работоспособным.

Выражение, характеризующее плотность распределения отказов имеет вид

exp(-x);

f(x, )= x 0;  0; (1-13)

0. в остальных случаях .

Экспоненциальное распределение зависит от одного параметра .

Если имеется наработка x₀, в течение которой отказы не поступают, то

exp[-(x- x₀)];

f(x, )= x 0;  0 (1-14)

0. в остальных случаях .

Средняя наработка до отказа (математическое ожидание) x_cp=^-1.

Распределение Вейбулла соответствует более общей статистической модели, охватывая различные законы изменения случайной величины с течением времени. Плотность распределения

ba^-1(x/a)^b-1 exp[- (x/a)^b ];

f(x,a, b)= x 0; a 0; b 0; (1-15)

0 в остальных случаях .

Распределение Вейбулла – двухпараметрическое. Параметр а называют иногда параметром масштаба, а параметр b- параметром формы.

Экспоненциальное распределение- это частный случай распределения Вейбулла.