3.4. Исходные уравнения колебаний мощности

в механизме.

В процессе работы детали механизма (магистрали) передают мощность N=F, определяемую выходными координатами, скоростью движения и силой сопротивления. В самом механизме мощность тратится на перемещение отдельных частей и на их деформацию. В первом случае часть подведенной энергия является кинетической, во втором- потенциальной. Кинетическая составляющая потерь мощности определяется кинематикой механизма. Потенциальная составляющая приводит к переменным напряжениям в магистралях, нагреву и т.п.

Рассмотрим продольные колебания.

Величина удельной накопленной потенциальной энергии w_п для продольной упругой деформации при отсутствии поперечных сил определим следующим образом (см. 2-54).

w_п=0,5 = 0,5 ²/Е.

Следовательно, удельная мощность, выделяемая в единице объема стержня при продольной деформации, будет

N_у= d w_п/dt= (/Е)d/dt.

Таким образом, зная закон изменения напряжения можно определить и изменения мощности в сечении стержня.

Для крутильных колебаний удельная потенциальная равна (см. (2-100))

w_п =0,5 ²_мах k_fJ /G,

где k_fJ = J_p/(fy²_max).

Для круга будет

w_п =0,25²_махG^-1.

Таким образом, удельную мощность, выделяемую в элементарном объеме стержня при кручении можно представить выражением

N_yк= dw_п /dt=( k_fJ _мах /G)d_мах /dt. (3-26)

Для круга получим

N_yк= (0,5 _мах /G)d_мах /dt.

Рассмотрим далее колебания в стержне, заделанным одним концом и нагруженным изгибающим моментом, действующим в плоскости изгиба.

Если полагать, что статический момент сечения относительно нейтральной оси равен нулю, то изгибающий момент, передаваемый стержнем

М_и = E J_z /=_u W_z,

где J_z , W_z= J_zy^-1_max- моменты инерции и сопротивления сечения; y_max - максимальная координата относительно нейтральной оси сечения;  - кривизна.

Угол поворота двух смежных сечений, расположенных на расстоянии dx друг от друга, равен d= dx/.

Поскольку = EJ_z/M_u , то d=( M_u/EJ_z) dx.

Потенциальная энергия деформации, накопленная участком стержня длиной dx, равна работе моментов М_u, приложенных по торцам этого участка

dA_p= 0,5М_ud.

Подставим в это выражение М_и =_u W_z и разделим обе части на dV= fdx,

w_п= 0 ,5k_J ²_uE^-1 ,

где k_J = J_z/(fy²_мах).

Для круга будет w_п= 0 ,125²_uE^-1.

Величина w_п представляет собой потенциальную энергию, накопленную в каждом элементарном объеме изгибаемого стержня.

Таким образом, мгновенное значение удельной мощности, выделяемой в элементарном объеме стержня при изгибе, можно описать выражением

N_yи= dw_п /dt= ( k__u /E)d_u /dt. (3-27)

В связи с тем, что в процессе работы деталь претерпевает различные формы деформации, то, следуя энергетической теории прочности, введем в рассмотрение интенсивность деформаций [3]

 _i= [2^1/2(1+ )]^-1[( _y-  _z)²+( _z - _x)²+( _x-  _y)²+

+ 1,5(_yz²+ _zx²+ _xy²)]^1/2

и интенсивность напряжений

_i= 2^-1/2[(_z -_y)²+ (_y- _x)²+ (_z- _x)²+ 6(_xy²+ _zx²+ _yz²)]^1/2,

где _z,  _z; _x,  _x; _y,  _y – соответственно, нормальные напряжения и относительные деформации в направлении осей координат Z, X, Y; _xy, _xy; _zx, _zx; _yz, _yz – соответственно, касательные напряжения и углы поворота граней.

Пусть при интенсивности деформации на dl/l= _i участка длиной l и элементарной площадью сечения интенсивность напряжений составляет _i. Тогда, учитывая обобщенный закон Гука  _i =  _i Е_i, где Е_i= Е’ - обобщенный модуль упругости (см. также (2-78)), элементарная накопленноя энергия

w_i=0,5 _i  _i = 0,5 ²_i / Е_i .

Следовательно, удельная мощность, выделяемая в единице объема стержня при некоторой деформации, будет

N_уi= d w_i /dt= ( _i / Е_i )d _i /dt. (3-28)

Полученные соотношения позволяют через колебания напряжений в магистралях описать изменения потенциальной составляющей удельной мощности в механизмах.

Если напряжения в деталях механизма превышают некоторые допустимые значения, то механизм может перестать работать. В связи с тем, что в большинстве случаев различные устройства работают при переменных нагрузках, то их ресурс часто зависит от колебаний напряжений в магистралях, деталях.

Выше показано, что при любой деформации совершается некоторая работа. Следовательно, в случае колебаний в элементарном объеме может накапливаться определенное количество энергии. Однако из-за теплопередачи она отводится. Если количество подведенной энергии равно количеству отведенной Q_отв, то нагревания не будет и металл, по всей видимости, может воспринимать практически любое количество циклов деформации. Поэтому для оценки динамической прочности металлических деталей необходимо знать разницу  А_р= А – -Q_отв .

Подводимая в сечение мощность распределяется следующим образом

N_e=  T_i/R_i ,

где  T_i , R_i - перепад температур и термосопротивление в направлении теплопередачи; n - номер канала передачи тепла.

Если магистраль, по которой передается соответствующая мощность, является однородной, т.е. по всей длине размеры, плотность и др. одинаковы, то мощность, затрачиваемая на продольные колебания стержня, равна

N_e= V (/Е)d/dt, (3-29)

где V - объем деформируемого участка.

Часть подведенной мощности сразу отдается в окружающую среду, а часть отводится через контакты с другими металлическими деталями. Оставшаяся мощность идет на нагревание стержня. Например, при испытаниях на усталость по ГОСТ 25.502-79 подводимая энергия отводится в окружающую среду- воздух или смазочно-охлаждающую среду (СОС), через контакт в детали машины для испытаний. Кроме того, образцы выполняются строго определенных размеров, а частота колебаний в процессе испытаний поддерживается постоянной. В указанном нормативном документе отмечено, что при саморазогреве выше некоторых температур уровень частот ограничивается.

Если подводимая мощность равна отводимой посредством теплопередачи, то температура зоны деформации будет постоянной. В этом случае материал может эксплуатироваться весьма долго. В противном случае- оставшаяся энергия будет накапливаться в кристаллической решетке и через определенное количество циклов вызовет разрушение.

Допустим, что интенсивность напряжения в магистрали какого- либо механизма изменяется по гармоническому закону _i = _аsin(t) (см. рис.3.6).

В этом случае при продольных колебаниях стержень получает мгновенную мощность

N_пмгн= V_а² Е_i ^-1 sin(t)cos(t)= 0,5V_а² Е_i ^-1 sin(2t) , (3-30)

За время, равное одному циклу колебаний напряжения t= 2/, полученная энергия составит

Рис. 3.6

Колебания напряжений в магистрали механизма (_-1- предел выносли-вости при симметрич-ном цикле нагружения, определяемый на образце).

А_цп = 4 N_пмгн dt= 4*0,5V²_a  Е_i^-1 sin(2t)dt=

= - V²_a Е_i^-1cos(2t) = 2V²_a Е_i^-1. (3-31)

Из приведенного следует, что удельная мощность, выделяемая в объеме стержня, изменяется по закону синуса двойного угла _N= 2t с частотой _N= 2. Время ее периода равно t_п=  /. За время эксплуатации t_э механизма число таких периодов составит z=  t_э/. Тогда общее количество энергии, затрачиваемой на деформацию кристаллических решеток объема, будет

А_п = z А_цп= 0,637V t_э ²_a(1/ Е_i). (3-32)

Заметим, что в элементарном объеме за период t_э будет выделяться энергия

А_qп= 0,637 t_э ²_a(1/ Е_i). (3-33)

Положим, как и Одинг И.А., что разрушение участка детали наступает тогда, когда количество тепла, оставшегося в каком-либо участке, соответствует удельной энергии, достаточной для плавления, т.е.

A_q cT_s [ Дж/м³], (3-34)

где c- удельная теплоемкость [Дж/(кг*град)]; T_s - абсолютная температура плавления металла [град];  - плотность материала [кг/м³].

Тогда время эксплуатации детали будет

t_э=  c Е_i T_s/(0,637 ²_a). (3-35)

а число циклов деформации-

Z=0,5 c Е_i T_s/( ²_a), (3-36)

где  - коэффициент, учитывающий долю подведенной мощности, затраченной на нагревание элементарного объема детали.

К сожалению, использовать изложенный прием можно лишь при знании значений коэффициента  и термосопротивлений, сведений о которых в настоящее время недостаточно. Однако в предположении, что эти параметры в случае сравнения результатов испытаний в подобных условиях для подобных деталей одинаковы, он позволяет оценить влияние остальных факторов (объем и форму детали, амплитуду колебаний напряжений и т.п.), на допускаемое количество циклов нагружений другой детали.

Таким образом, зная амплитуду колебаний и частоту изменения напряжения в работающей конструкции, можно с помощью выражений (3-35), (3-36) оценить ресурс той или иной детали изделия. Ход процесса разрушения определяется многими факторами и изучается специальными научными направлениями.

В связи со сложностью решения задач по определению термосопротивлений каналов передачи тепла при оценке надежности той или иной конструкции применяют разнообразные критерии. Обычно такой расчет выполняют с помощью соотвествующих графиков и таблиц, где учитываются размеры, наличие концентраторов напряжений, смазка и др. Примеры расчетов на прочность с учетом описанных факторов приведены в разделах 5.16, 5.23, приложениях.

При колебаниях выражение N(t)= (t)F(t), где  - скорость движения выходной координаты механизма, не совсем правильно отражает колебания мощности в механизме. Действительно, пусть сила сопротивления изменилась скачкообразно F(t)= F₀ *1(t). Тогда, если пользоваться указанной формулой, о колебаниях мощности можно судить фактически по изменению скорости движения выходной координаты. Однако, известно, что скорость движения выходной координаты, например частота вращения соединительной муфты редуктора, обычно равна скорости движения прилегающего к ней участка силовой магистрали (выходного вала редуктора). При этом в динамическом процессе в сечении вала происходит изменение напряжений. В зоне, прилегающей к указанной муфте, это максимальные касательные напряжения. Тогда колебания мощности в выходном участке силовой магистрали (вала) можно описать выражением

N(t)=  _max(t) W_p  (t) , (3-37)

где , W_p - угловая скорость вращения выходного участка магистрали, равная скорости вращения соединительной муфты, и геометрический полярный момент сопротивления сечения этого участка.

Если же взять выходные параметры редуктора, то будет

N(t)= M_c0  (t).

Очевидно, соотношение (3-37) более точно отражает динамику энергетических затрат устройства.

Кинетическая составляющая потерь мощности в механизмах зависит от масс деталей и их скоростей движения.

В большинстве случаев эта составляющая при равномерном движении тратится на перемешивание рабочей среды, например масла, трение. Ее можно учитывать в коэффициенте потерь, пропорциональных скорости движения. Однако, следует иметь в виду, что во время изучения колебаний обычно коэффициент отмеченных потерь включает также и потери, пропорциональные скорости движения в нагрузке. Инерция движущихся масс механизма при этом учитывается в приведенных моменте инерции или массе.