2.17. Устойчивость стержней.

Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль оси, постепенно увеличивая силу, то сначала он будет прямым с напряжением в сечении = F/f. Затем он начнет резко изгибаться. Напряжения в нем быстро возрастают и возникает опасность разрушения. Такое явление называют потерей устойчивости. Формы изогнутых стержней приведены на рис.2.42,а.

Пусть стержень находится в равновесии, сохраняя слегка изогнутую форму, под действием силы F. Тогда можно записать

EJ_z d ²y/dx²= - Fy.

После преобразований получим

d ²y/dx²+ k²y= 0, (2-168)

где k= [F/(EJ_z)]^1/2- постоянный коэффициент.

Решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, как известно, записывается в форме

y= A sin(kx)+ Bcos(kx). (2-169)

Постоянные А, В определяются из условий закрепления (граничных условий):

при x=0 и х = l прогиб y=0.

=1 =2 =2 =1/2 =1/3 =1 =1/2 =0,7

б)

Рис. 2.42 Формы стержней, потерявших устойчивость.

Подставим эти значения в (2-169).

Из 1-го условия следует В=0.

Из 2-го условия получаем

Asin(kl)= 0.

Это уравнение имеет два возможных решения: A=0; sin(kl)=0.

Следовательно, стержень может быть изогнутым, когда kl=n, где n=0,1,2,3... .

Таким образом, уравнение (2-169) можно переписать в форме

y= Asin(kx)= Asin(nx/l).

Упругая линия в этом случае изображается кривой, содержащей n полуволн.

Из выражения для коэффициента k следует, что сила, при которой стержень остается в равновесии, равна

F= (n/l)²EJ_z. (2-170)

Соответственно, при n=1 F= (/l)²EJ_z- эта зависимость называется формулой Эйлера.

Критическая сила зависит, кроме всего прочего, от условий закрепления. В общем виде формула Эйлера выглядит так

F_кр = [ /( l]²EJ_z, (2-171)

где  - коэффициент, учитывающий особенность закрепления стержня.

Формы изогнутых стержней с соответствующим закреплением показаны на. рис.2.42,б.

Критическое напряжение определяется из соотношений

_кр= F_кр/ f= [/( l]²EJ_z/f= [/( l]²E i²= [/]²E, (2-172)

где i= (J_z/f)^1/2- радиус инерции сечения; = l/i- гибкость стержня.

В инженерной практике расчет стержней ведется по напряжениям в зависимости от гибкости

= F/f  [], (2-173)

где  - коэффициент снижения допускаемых напряжений [] может быть определен из таблицы

 . . . . 10 20 40 80 120 160

. . . . . 1 0,95 0,9 0,65 0,35 0,25.

В технике встечаются случаи работы системы со стержнями, потерявшими устойчивость, например при сверлении глубоких отверстий в толстостенных трубных досках. Такой стержень играет роль пружины, коэффициент упругости которой можно рассчитать по выражению⁵

_пр= xl²/(4n²EJ_z), (2-174)

где x - сближение крайних точек.