2.13. Перемещения в брусе.

При упругом изгибе.

Выше было выведено (2-109) d²y/dx²= M/(EJ_z). Причем

dy/dx= tg .

Рассмотрим балку длиной l с заделкой (рис. 2.33)

F

x

C Рис.2.33 Изгиб балки

x

Под действием силы F балка прогибается вверх.

Перепишем приведенное уравнение для участка x-l в форме

EJ_zy’’= M(x)= F(l-x).

Проинтегрируем по х

EJ_zy’= Flx- Fx²/2+ C₁;

EJ_zy= Flx²/2 - Fx³/6+ C₁x+ C₂.

Постоянные С₁, С₂ определим из граничных условий:

при х=0 (в заделке) y’= dy/dx= 0; y= 0.

Следовательно

0= Fl*0- F*0²/2+C₁ и C₁=0.

Выполнив подобные действия со 2-м уравнением получим С₂=0.

В итоге

y’(x)= (Flx- Fx²/2)/(EJ_z)= Fx(l- x/2) /(EJ_z). (2-146)

y(x)= Fx²(l/2- x/6)/( EJ_z). (2-147)

При х= l будет

y’(x)= Fl² /(2EJ_z)- угол наклона линии изгиба;

и прогиб крайней точки балки

y(x)= Fl³/(3EJ_z ). (2-148)

Применим теорему Кастильяно.

Потенциальная энергия, накопленная стержнем

U= M²(x)(2EJ_z)^-1dx. (2-149)

По указанной теореме y_i=  U/ F_i ,  M/ F_i = l - x, то прогиб в точке действия сосредоточенной силы F_i равен

y_i= M(x)(EJ_z)^-1[ M(x) / F_i ]dx= M(x)(l-x)(EJ_z)^-1dx=

= [F(l-x)](l-x)(EJ_z)^-1dx= (EJ_z)^-1F(l²x- 2lx²/2+ x³/3)| = Fl³/(3EJ_z).

Для угла изгиба при действии сосредоточенного момента M_i можно записать

=  U/ M_i = M(x)(EJ_z)^-1 [M(x) /M_i ] dx. (2-150)

Многие задачи сопромата с использованием теоремы Кастильяно решаются следующим образом.

В изучаемую точку системы условно прикладывается дополнительная сила F_д или изгибающий момент М_д. Затем составляется выражение для потенциальной энергии системы с учетом этой силы (момента) и применяется теорема Кастильяно (берется частная производная по дополнительной силе (моменту)). Полученное соотношение будет верным для определения прогиба (угла поворота) сечения стержня при любых числовых значениях дополнительной силы. Принимая затем F_д= 0 (М_д= 0 ) найдем интересующее нас значение прогиба или поворота сечения стержня.

Так, для рассматриваемого примера приложим в точке С дополнительный изгибающий момент, направленный против часовой стрелки. Тогда изгибающий момент в сечении стержня

M(x)= M_д- F(l- x),

а частная производная

 M/ M_д= 1.

В этом случае угол поворота будет

= U/M= (EJ_z)^-1 M(x) 1 dx = (EJ_z)^-1 [M_д- F(l- x)]dx,

а при М_д= 0 получим

= - (EJ_z)^-1 [ F(l- x)]dx=- (EJ_z)^-1 F[lx- x²/2] =- Fl²/(2EJ_z). (2-151)

При произвольной нагрузке.

Наиболее просто перемещения находятся при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса. Этому предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в брусе. Он производится методом сечений с помощью построения эпюр изгибающих и крутящих моментов, а если необходимо и построением эпюр нормальных и поперечных сил. Эпюры строятся по осевой линии бруса.

В общем случае потенциальная энергия бруса длиной l определяется выражением

U= [M_к²/2GJ_к)]dz+ [M_x²/2EJ_x)]dz+ [M_y²/2EJ_y)]dz+ + [N²/2E f)]dz+ [k_xQ_x²/2G f)]dz+ [k_yQ_y²/2G f)]dz, (2-152)

где M_к, M_x, M_y- соответственно, крутящий, изгибающие относительно оси Х и оси Y моменты; N, Q_x, Q_y - нормальная, поперечные относительно осей X, Y силы; k_y= (F/J²_x) (S^*2_x/b²)df , k_x= (F/J²_y) (S^*2_y/h²)df- коэффициенты для определения касательных напряжений по формуле Журавского от действия поперечной силы Q при площади сечения f.

По теореме Кастильяно можно определить перемещение от действия конкретной силы или момента. Если же необходимо определить перемещение любой точки А системы, то вводят фиктивные силы или моменты, в общем случае обозначаемые как силовые факторы Ф. Находят с учетом их выражение для U. Затем, дифференцируя U по Ф, определяют для искомой точки перемещение по направлению силы Ф, а после этого силу Ф приравнивают нулю и определяют таким образом искомое перемещение

_А = U/Ф_Ф=0= M_{к Р} М_к1(GJ_к)^-1dz+ M_{х Р} М_х1(EJ_x)^-1dz+

+ M_{y Р} М_y1(EJ_y)^-1dz dz+ N_P N₁(Ef)^-1dz+ k_xQ_xP Q_x1(G f)]dz+

+ [k_yQ_yP Q_y1(G f)^-1dz, (2-153)

где М_кР- крутящий момент, действующий в сечении, например от силы Р; М_хР , М_уР- изгибающие моменты относительно осей X, Y ; Q_xP, Q_yP- перерезывающие силы, действующие по осям X, Y; M_к1, М_х1, N₁, Q_y1- некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине бруса.

Приведенные интегралы называются интегралами Мора.

Недостаток определения перемещений с помощью таких интегралов заключается в необходимости составления аналитического выражения подинтегральных функций, что особенно неудобно в брусах с большим количеством участков. Если же брус состоит из прямых участков с постоянной в пределах участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на линейности эпюр от единичных силовых факторов на прямолинейных участках.

Положим на участке длиной l нужно взять интеграл

J= f₁(z)f₂(z)dz. (2-154)

при условии, что, по крайней мере одна из этих функций, линейна. Пусть f₂(z)= =b+ kz. Тогда выражение (2-154) примет вид

J= b f₁(z) dz + k zf₁(z) dz .

Первый из интегралов- площадь под кривой f₁(z), т.е.

f₁(z) dz = = ₁.

Второй представляет собой статический момент этой площади относительно оси y₁, т.е. zf₁(z) dz= ₁z_ц.т., где z_ц.т - координата центра тяжести первой эпюры.

В итоге получаем

J= ₁( b + k z_ц.т),

но b + k z_ц.т= f₂(z_ц.т.)

Таким образом, получаем

J= ₁f₂(z_ц.т.). (2- 155)

Такой способ, способ Верещагина, позволяет операцию интегрирования заменять перемножением площади 1-й эпюры на ординату 2-й эпюры под центром тяжести эпюры первой. Если обе функции линейные, то порядок перемножения безразличен.

Этот способ может быть применен к любому из шести интегралов Мора.

Заметим, что центр тяжести прямоугольника площадью = lh находится на расстоянии l/2; центр тяжести треугольника площадью = lh/2 находится на расстоянии l/3 от катета; центр тяжести параболического треугольника площадью = lh/3 находится на расстоянии l/4 от катета.

Пример 2.8: При помощи правила Верещагина определить перемещение точки А балки на рис.2.34.

Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил Р (рис. 2.34,б). Затем, снимая внешние силы, прикладываем в точке А единичную силу и от нее строим эпюру (рис.2.34,в и г).

Далее, производим перемножение эпюр.

На участке ВС площадь эпюры моментов заданных сил = Pl²/2.

Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил будет М_1т= l/3. Перемножая эти величины, находим

 М_1т= Pl³/6.

Участок ВD не может рассматриваться целиком, т.к. на нем эпюра моментов единичной силы является ломаной. Берем половину участка, т.е. отрезок АВ. Здесь

= Pl²/2; M_1цт= (5/8)l; M_1цт= 5Pl³/16.

а)

Рис.2.34

б)

в)

г)

Складывая полученные выражения M_1цт ,находим

(M_1цт)_АС= Pl³/6+ 5Pl³/16= 23Pl³/48.

Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и, разделив его на EJ, находим искомое перемещение

= 23PL³/(24EJ).