2.11. Изгиб за пределами упругости.

При технологической операции гибке различают: линейный упругопластический изгиб с упрочнением (рис.2.30,а); линейный чистопластический изгиб с упрочнением (рис.2.30,б); линейный упругопластический изгиб без упрочнения (рис.2.30,в); чистопластический изгиб без упрочнения (рис. 2.30,г); объемный пластический изгиб (рис.2.30,д).

Есть несколько гипотез. Одна из них предложена Губером и Мизесом- пластическое состояние тела наступает тогда, когда интенсивность напряженности равна

_i= k,

где k – некоторое значение интенсивности напряжений для каждого материала.

Согласно этому условию для касательных напряжений должно быть

_т= _т /3^0,5= k.

Напряженное состояние при чистом объемном изгибе (без поперечных сил) широкого бруса характеризуется тремя главными нормальными напряжениями: _z- в аксиальном направлении (ось гиба); _- в тангенциальном направлении; _r- в радиальном направлении.(рис.2.30,д).

Исследования, выполненные в ЦНИИТМАШе, показали, что в процессе гибки происходит изменение геометрии детали в зоне гиба (рис. 2.30,д), нейтральная ось смещается, стенка трубы по наружнему радиусу утоняется, а по внутреннему- становится толще и т.д. Однако в самом простом случае изгибающий момент можно рассчитать с помощью выражения

М_и= 1,5W_z_т,

где W_z - геометрический момент сопротивления сечения.

а) б) в) г)

сечение балки

д)

Рис.2.30. Изгиб за пределами упругости (П= (2…10)10³МПа – модуль упрочнения).

При чистопластическом изгибе остаточные напряжения в крайних слоях зависят только от профиля сечения (для прямоугольника из стали- _ост  0,5_т; для круга- _ост  0,7_т).

Широко применяется многократный пластический изгиб, который может быть многократным последовательным (без изменения знака), многократным знакопеременным, как прямого, так и изогнутого брусов.

Промежуточные разгрузки при многократном последовательном изгибе не влияют на величину изгибающего момента, которая определяется радиусом гиба.

При многократных знакопеременных изгибах на малую кривизну выравниваются механические свойства материала, получившиеся от распрямления первоначальной кривизны.

2.12. Сложное сопротивление.

Косой изгиб- имеет место, когда плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения (рис.2.31,а).

В этом случае разлагают изгибающий момент на два, действующих в главных плоскостях (проходят через главные оси сечения). Касательными напряжениями обычно пренебрегают.

M_z= F_yx= Mcos; M_y= F_zx= Msin .

В точке В сечения нормальные напряжения равны

= M_yz/J_y+ M_zy/J_z= M(z sin/J_y+ y cos/J_z). (2-137)

а) нейтральная линия

Рис.2.31

Сложный изгиб:

а) косой изгиб;

б) изгиб с внецентренным нагружением

б)

Положив в (2-137) =0, найдем для нейтральной линии

y₀= - z₀ tg(J_z/ J_y)

или

y₀/z₀= tg= - (J_z/J_y)tg. (2-138)

т.е. нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси минимального момента инерции.

Для круга, у которого J_z= J_y =90, получим

_max= M_yz_max/J_y+ M_zy_max/J_z. (2-139)

Суммарный прогиб равен

 = (y²+ z²)^1/2. (2-140)

Изгиб с растяжением или сжатием (внецентренное нагружение) (рис. 2.31,б)

В сечении В консольно закрепленного стержня действуют

M_y= F_zx, Q_y= F_z; M_z= F_yx, Q_z= F_y.; N= F_x.

Полагая действия сил независимыми и пренебрегая касательными напряжениями, получим

= N/f+ M_yz/J_y+ M_zy/J_z. (2-141)

Откуда

_max = N/f+ M_y/W_y+ M_z/W_z. (2-142)

Кручение с изгибом.

Этот случай имеет место в зубчатых редукторах (рис. 2.32).

F_t1= F_t2; F_r1= F_r2; M_кр2= F_t2D₂/2; F_r1= F_t2tg20 .

Напряжения от кручения:

_max= М_кр2/ W_p= M_кр2/( d ³/16). (2-143)

Для изгиба в плоскости YАX от силы F_r (касательными напряжениями от перерезывающей силы пренебрегаем) получим

A_y+ B_y= F_r2;

A_yl- F_r2b= 0, т.е. A_y= F_r2b/l.

B_y= F_r2- A_y= F_r2a/l.

Следовательно, максимальный изгибающий момент в этой плоскости равен

M_umax1= A_ya= F_r2ba/l.

Откуда максимальные нормальные напряжения будут

_ymax= M_umax1 /W_y= 32F_r2ba/(l d³). (2-144)

Используя энергетическую теорию прочности, находим интенсивность напряжения

_i= (²_zmax+ ²_ymax+ 3²_max)^1/2=

={[32F_t2ba/(ld³) ]²+ [32F_t2ba/(ld³)]²+ 3 [M_кр2/(d³/16)]²}^1/2. (2-145)

Рис. 2. 32. Кручение с

изгибом.

При этом должно быть

_i [_т].