2.8. Изгиб.

Чистый изгиб

Рассмотрим балку, один конец которой закреплен в стенке ( это называется заделкой), а на другой, свободный, действует в плоскости чертежа только изгибающий момент (рис. 2.19). От него балка изгибается.

Из теории упругости известно, что уравнение изогнутой оси записывается в форме

y= x² M_u/(2EJ_z). (2-102)

Это парабола.

Продифференцируем это уравнение по х

dy/dx= x M_u/(EJ_z); d²y/dx²= M_u/(EJ_z). (2-103)

Рис.2.19 Чистый изгиб балки

Рис. 2.20 Напряжения при чистом

изгибе

Заметим, что dy/dx= tg   , где  - угол поворота оси балки; J_z= y²df; df- элементарная площадь сечения стержня. Е- модуль проольной упругости.

Сомножитель J_z называется моментом инерции поперечного сечения  относительно оси z.

Из (2-103) следует, что при действии только изгибающего момента М_и d²y/dx²=const.

Поскольку в математике величина d²y/dx² связана с кривизной в точке какой-либо изогнутой кривой соотношением d²y/dx² 1/R, где R- радиус кривизны в точке кривой, то можно записать

d²y/dx² 1/R= M_u/(EJ_z). (2-104)

Если мысленно отделить балку от заделки и заменить заделку противонаправленным изгибающим моментом М_и (рис. 2.20), то выше линии, проходящей по центрам тяжести сечений балки- нейтральной оси, будем иметь растягивающие напряжения (+), а ниже- сжимающие - (-).

При чистом изгибе в сечениях действуют только нормальные (перпендикулярные к поперечному сечению) напряжения.

Рис. 2.21 Изгиб от поперечной силы

Чаще встечаются более сложные случаи, когда действуют не только изгибающие моменты, но и поперечные силы (рис. 2.21)

Отделим участок длиной х и заменим левую часть на действие соответствующей системы сил

F+ Q= 0; F(l-x)- M_ux= 0. (2-105)

Здесь Q - перерезывающая сила; M_ux - изгибающий момент в конкретном сечении балки, расположенном на расстоянии х от начала координат. Видно, что перерезывающая сила постоянна по всей длине балки и равна Q= -F, а изгибающий момент меняется по длине M_ux= = F(l-x).

Следовательно, в сечениях балки кроме нормальных напряжений , действуют и касательные напряжения .

Из-за сложности фактической картины действия различных напряжений приняты основные допущения:

1. В балке существует нейтральная ось такая, что каждый элемент балки на ней только изгибается, но не удлиняется и не укорачивается.

2. Плоские сечения, перпендикулярные к нейтральной оси в начальном недеформированном состоянии, после изгиба остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой нейтральной оси.

Эти допущения позволяют вывести закон распределения нормальных напряжений в любом сечении балки.

Рассмотрим участок изгибаемой балки (рис.2.22) выше нейтральной оси. Здесь S- длина участка до деформации; S+ S- после деформации.

Рис. 2.22

Вывод закона распределения

нормальных напряжений

Относительное удлинение участка будет

=S/S. (2-106)

Если рассматриваемое волокно находится на расстоянии y_в от оси х, то из подобия по углам треугольников следует

S/y_в = S/R или S/ S= y_в /R.

Тогда с учетом (2-106) нормальные напряжения в сечении будут

_х= E= - Ey_в/R. (2-107)

Здесь знак зависит от направления отсчета.

В этом случае изгибающий момент в сечении на расстоянии х от точки отсчета равен

M_ux= (-y_в)_x df= ER^-1 y_в²df= ER^-1J_z. (2-108)

Откуда следует R^-1= M_ux/(EJ_z), а учитывая R^-1 d²y/dx², получим

d²y/dx²= M_ux/(EJ_z). (2-109)

Эта формула подобна (2-104), однако здесь изгибающий момент зависит от х. Поэтому изогнутая ось в общем случае не является параболой.

Подставив соотношение для R^-1 в (2-107), получим

_х= - Ey_в M_ux/(EJ_z)= - y_в M_ux/J_z (2-110)

или максимальные нормальные напряжения при изгибе

_{х max} = M_ux/W_z, (2-111)

где W_z= J_z / y_в- геометрический момент сопротивления поперечного сечения относительно оси z.

По аналогии с предыдущими случаями потенциальную энергию, накопленную при изгибе можно опредеделить выражением

E_p= [M²_ux/(2EJ_z)]dx. (2-112)