2.7. Сдвиг и кручение.

Если на стержень действуют силы, как это показано на рис. 2.16,а, то при малом расстоянии между силами F заштрихованный участок наклонится. Поскольку на стержень действуют только поперечные силы, то в сечении между F-F разовьются только касательные напряжения , уравновешивающие указанные воздействия. Это изображено на рис. 2.16,в.

а) б) в)

Рис. 2.16 Схема деформации и внутренние силы (напряжения)

при сдвиге стержня.

Принимая распределение касательных напряжений  равномерным по сечению площадью f, их величину определяют из соотношения

 = F/f. (2-82)

Величина этих напряжений должна быть меньше допускаемых значений, т.е.   [].

Если на участке между силами F выделить прямоугольник и рассмотреть его после отмеченного изгиба, то на гранях образованного параллелограмма возникнут касательные напряжения, как показано на рис. 2.17.

Рис. 2.17

Напряжения и деформации элемента при сдвиге

Такое напряженное состояние называют чистым сдвигом. Величина а называется абсолютным сдвигом. Угол , на который изменяются прямые углы, называют относительным сдвигом

tg   = a/h. (2-83)

Экспериментально установлено, что

a= Fh/(Gf), (2-84)

где G- является коэффициентом пропорциональности и называется модулем сдвига (для стали G= 8*10⁴ МПа).

Учитывая (2-82) и (2-83), из (2-84) получим закон Гука при сдвиге

 =G. (2-85)

Между модулем продольной упругости и модулем сдвига имеется взаимосвязь

G= 0,5E/(1+) 0,4 E.

Чистый сдвиг реализовать весьма сложно, т.к. практически всегда будут и другие напряжения.

Достаточно часто сдвиг проявляется при кручении, это такой вид деформации, когда в поперечных сечениях действует только крутящий момент, а остальные силы отсутствуют.

Если рассматривать кручение цилиндрического стержня (рис. 2.18), то сечения, удаленные от точки закрепления на расстояние х будут поворачиваться друг относительно друга на некоторый угол , измеряемый от оси вращения. Тогда на расстоянии x+ dx угол поворота будет + d .

Полагая образующие прямыми, получим

  

tg= (CC₁- BB₁ )/ BC= [r ( +d)- r]/dx= rd /dx= r .

Рис.2.18 Скручивание стержня.

Отношение d/dx называется относительным углом закручива-ния и обозначается буквой . Тогда

tg = r . (2-86)

Из закона Гука (2-85) следует

= G = G r. (2-87)

Таким образом, в любой точке сечения стержня касательные напряжения равны _ = G , где  - радиус точки относительно оси вращения. Следовательно, на поверхности стержня касательные напряжения будут максимальными.

Выделим элементарную площадку размерами df= dd в сечении стержня. Момент касательных сил на этой площадке относительно оси вращения dM_кр= _  df.

Тогда по всему сечению получим

М_кр= _  df.

Учитывая (2-87), запишем

М_кр= G ² df= G ² df.

Интеграл ²df = J_p называется полярным моментом инерции сечения. Поэтому

М_кр= G J_p. (2-88)

Поскольку df= dd, то для круга

J_p = ³dd= 2 ³d= 2r⁴/4=  r⁴/2= d⁴/32 . (2-89)

Для кольца будет

J_p = 2 ³d=  r⁴ (1- r₀ ⁴/r⁴) /2= d⁴ (1- d₀ ⁴/d⁴) /32,. (2-90)

где r₀, d₀- радиус и диаметр отверстия в кольце.

Для прямоугольника, расположенного симметрично относительно центра тяжести и имеющего df= b dy , где b – ширина по оси х; y -координата по высоте, равной h, получим

J_p = ²df= y²df+ х²df = b y²dy + h x²dy = by³/3| +

+ hx³/3| = bh³/12+ hb³/12 = hb(h²+ b²)/12. (2-91)

Из (2-88) определим относительный угол закручивания стержня любой формы

= М_кр/ (GJ_p). (2-92)

Откуда закручивание стержня длиной l будет

_l = М_крdx/ (GJ_p)= М_крl/ (GJ_p). (2-93)

Если по длине стержня переменного сечения действуют разные моменты кручения, суммарный угол закручивания можно определить из соотношения

_l = М_крi l_i/ (G_i J_pi). (2-94)

Подставив в (2-87) = М_кр/ (GJ_p), определим величину касательных напряжений в любой точке сечения, расположенной на радиусе 

= G М_кр/ (GJ_p) = M_кр /J_p, (2-95)

а для точек, находящихся на поверхности стержня это будет максимальное значение касательного напряжения

_max = M_кр /W_p , (2-96)

где W_p= J_p/r - называется полярным моментом сопротивления сечения.

В работающих конструкциях должны выполняться условия

_max  [];  [], (2-97)

где значения в квадратных скобках называются допускаемыми.

Полагая, что при закручивании стержня в пределах упругости изменение потенциальной энергий от деформации будет dE_p= 0,5M_крd, для элементарного участка длиной dx запишем d= М_кр(GJ_p)^-1dx, тогда

dE_p= 0,5M²_кр(GJ_p)^-1dx. (2-98)

В этом случае потенциальная энергия стержня длиной l составит

E_p= 0,5M²_кр(GJ_p)^-1dx= 0,5 M²_кр(GJ_p)^-1l. (2-99)

Это выражение получено в предположении постоянства по длине стержня G, J_p.

Подставим в (2-98) М_кр= _мах W_p и разделим на dV= fdx

w_n = 0,5(_мах W_p)² /(fGJ_p)=0,5 ²_махW ²_p /(fGJ_p)=

= 0,5 ²_махJ_p /(fGy²_max)=0,5 ²_мах k_fJ /G, (2-100)

где k_fJ = J_p/(fy²_max); y²_max - максимальная ордината сечения.

Величина w_п представляет собой потенциальную энергию, накопленную в элементарном объеме скручиваемого стержня.

Для круга при k_fJ = J_p/(fy²_max)= 0,5r⁴/(r²r²)= 0,5 он

а равна

w_п =0,25²_махG^-1. (2-101)