2.2 Ряди розподілу

За результатами типологічного групування, що виконане в завданні 1, розрахувати:

1) середню кількість вантажних автомобілів для всієї сукупності і для кожної групи окремо;

2) моду і медіану за допомогою формул та графічно;

3) показники варіації кількості вантажних автомобілів: розмах варіації, середнє лінійне і квадратичне відхилення, загальну дисперсію трьома методами; коефіцієнт осциляції, квадратичний коефіцієнт варіації; групові дисперсії виробітку на 100 машинотон та середню з групових дисперсій, між групову і загальну дисперсії за цією ж ознакою та за правилом складання дисперсій перевірити рівність суми середньої з групових і між групової дисперсій загальній; коефіцієнт детермінації, емпіричне кореляційне відношення, дисперсію долі автотранспортних підприємств третьої групи.

Зробити висновки.

Таблиця 2.1

Розрахункові дані для обчислення характеристики варіації

Групи АТП за кількістю автомобілів	Кіль- кість авто	Розрахункові величини
		Середи- на інтерва- лу	xf
[25-38)	5	31,5	157,5	-20,28	101,4	2056,4
[38-51)	6	44,5	267	-7,28	43,68	318,0
[51-64)	9	57,5	517,5	5,72	51,48	294,5
[64-77]	5	70,5	352,5	18,72	93,6	1752,2
Разом	25	-	1294,5	-	290,16	4421,1

1) Середня кількість вантажних автомобілів для всієї сукупності:

; де:

х – середина інтервалу,

f – кількість АТП.

Середня кількість вантажних автомобілів для кожної групи окремо:

= = 30;

= = 42,7;

= = 56;

= = 70,8.

Таблиця 2.2

Дані для обчислення характеристик центру розподілу

Групи АТП за кількістю вантажівок	Кількість АТП	Накопичена частота	Середина інтервалу
[25-38)	5	5	31,5
[38-51)	6	11	44,5
[51-64)	9	20	57,5
[64-77]	5	25	70,5
Всього	25	-	-

2) Мода:

Мода - це варіанта, яка найчастіше зустрічається в статистичному ряді розподілу.

Модою в дискретному варіаційному ряді буде варіанта, що має найбільшу частоту. Можуть бути розподіли, де всі варіанти зустрічаються однаково часто, в такому випадку моди немає або, інакше, можна сказати, що всі варіанти однаково модальні. В інших випадках не одна, а дві варіанти можуть мати найбільші частоти. Тоді будуть дві моди, розподіл буде бімодальним.

де:

- нижня границя модального інтервалу,

- розмір модального інтервалу,

- частота модального інтервалу,

- частота попереднього інтервалу,

- частота інтервалу наступного за модальним.

Модальний інтервал: (51 - 64]

Рис.2.1 Графічне зображення моди.

Для знаходження медіани в дискретному варіаційному ряді потрібно суму частот поділити пополам і до одержаного результату додати ½. Тоді медіаною буде та варіанта, якій відповідає сума накоплених частот (кумулятивна частота) рівна чи більша значення (Σƒ/2)+½ . Якщо Σƒ/2 - парне число, то (Σƒ/2)+½ - число дробове, а варsанти з дробовим номером не буває. Тому одержаний результат вказує, що медіана знаходиться між Σƒ/2 і (Σƒ/2)+1 варіантами

Медіана:

, де:

- нижня границя медіанного інтервалу,

- розмір медіанного інтервалу,

- півсума накопичених частот,

- сума накопичених частот, які передують медіанному інтервалу,

- частота медіанного інтервалу.

Так як

Рис.2.2 Графічне зображення медіани

3. Показники варіації кількості вантажних автомобілів:

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки. Характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

Розмах варіації:

Середнє лінійне відхилення:

, де:

х – індивідуальне значення ознаки,

- середнє значення ознаки,

f – частота ознаки.

Середнє квадратичне відхилення:

Визначаємо дисперсію:

А) Як квадрат квадратичного відхилення:

Б) Як різницю квадратів:

В) За методом моментів:

, де ,

За А вибираємо число, яке знаходиться посередині варіаційного ряду,

і – ширина інтервалу.

і=13 А=(44,5 + 57,5)/2=51

Коефіцієнт осциляції:

де:

R – розмах варіації,

- середнє значення ознаки.

Квадратичний коефіцієнт варіації:

Оскільки < 33%, то статистична сукупність є однорідною.

Групування АТП за виробітком на 100 машинотон:

Крок зміни (за виробітком на 100 машинотон):

[124-142,5) = 142, 138, 124, 140, 140. (разом 5)

[142,5-161) = 154, 156, 145, 159, 148, 156, 145, 159, 144. (разом 9)

[161-179,5) = 175, 170, 162, 167, 162, 178, 164. (разом 7)

[179,5-198] = 182, 198, 191, 196. (разом 4)

Таблиця 2.3

Комбінаційний розподіл кількості автомобілів та виробітку на сто машинотон.

Кількість вантажних автомобілів	Виробіток на 100 машинотон, т/км				Разом
	[124-142,5)	[142,5-161)	[161-179,5)	[179,5-198]
[25-38)	2	2	1	–	5
[38-51)	–	5	–	1	6
[51-64)	2	1	4	2	9
[64-77]	1	1	2	1	5
Разом	5	9	7	4	25

Розрахуємо середній виробіток на 100 машинотон для всієї сукупності: т/км

Розрахуємо середній виробіток на 100 машинотон для кожної групи:

Таблиця 2.4

Розрахункові дані для обчислення групових дисперсій

Кількість вантажних автомо-білів	Виробіток на 100 машино-тон	Кіль-кість АТП f	Розрахункові дані
			x	xf	x-xi
25-38	[124-142,5)	2	133,25	266,5	-14,8	438,08
	[142,5-161)	2	151,75	303,5	3,7	27,38
	[161-179,5)	1	170,25	170,25	22,2	492,84
	[179,5-198]	0	188,75	0	40,7	0
Разом	–	5	–	740,25	–	958,3
38-51	[124-142,5)	0	133,25	0	-24,67	0
	[142,5-161)	5	151,75	758,75	-6,17	190,34
	[161-179,5)	0	170,25	0	12,33	0
	[179,5-198]	1	188,75	188,75	30,83	950,49
Разом	–	6	–	947,5	–	1140,83
51-64	[124-142,5)	2	133,25	266,5	-30,83	1900,98
	[142,5-161)	1	151,75	151,75	-12,33	152,03
	[161-179,5)	4	170,25	681	6,17	152,28
	[179,5-198]	2	188,75	377,5	24,67	1217,22
Разом	–	9	–	1476,75	–	3422,51
64-77	[124-142,5)	1	133,25	133,25	-29,6	876,16
	[142,5-161)	1	151,75	151,75	-11,1	123,21
	[161-179,5)	2	170,25	340,5	7,4	109,52
	[179,5-198]	1	188,75	188,75	25,9	670,81
Разом	–	5	–	814,25	–	1779,7
Всього	–		–	3978,75	–	7301,34

Обчислимо внутрішньо групові дисперсії:

, де:

- значення ознак окремих елементів сукупності,

n – кількість АТП.

Середня з внутрішньо групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія:

де:

- групові середні

х- загальна середня для всієї сукупності

- чисельність окремих груп

Перевіримо отриманий результат обчисливши загальну дисперсію, як середньозважену:

Результати майже збіглися, відхилення виникло за рахунок заокруглень.

Обчислимо коефіцієнт детермінації:

,

Це означає, що 11,1% загальної дисперсії виробітку на 100 машинотон обумовлене кількістю вантажних автомобілів, а решта зумовлене іншим фактором.

Емпіричне кореляційне відношення:

,

тобто залежність між середнім виробітком на 100 машинотон і кількістю вантажних автомобілів становить 33%.

Розрахуємо дисперсію частин АТП третьої групи.

Частка підприємств третьої групи складає:

Тоді дисперсія:

Висновок:

Згідно обрахунків досліджувана статистична сукупність є однорідною.

Середня кількість вантажних автомобілів для всієї сукупності становить 51,78. Мода встановилась на рівні 56,57, а медіана 53,17. Обчислення були достатньо точними, про що свідчить невелика розбіжність між значеннями величин обрахованих різними способами. Залежність між середнім виробітком на 100 машинотон і кількістю вантажних автомобілів становить 33%.