3 Исследование уравнения свободных затухающих колебаний.

Колебанием называется периодически повторяющийся процесс.

Свободные колебания — колебания, которые совершаются в отсутствии внешних воздействий на систему за счет первоначально сообщенной энергии. Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает). Таким образом, большинство процессов можно классифицировать как свободные затухающие колебания.

На рис. 5 показана схема установки для изучения свободных затухающих колебаний. Элементами механизма являются груз массой m, закрепленный на пружине с жесткостью с и демпфер h.

Состояние колебательного контура описывается дифференциальным уравнением второго порядка (16).

, (16)

где m – масса груза, h – демпфирование, с – жесткость пружины.

Рис.5 Установка для изучения свободных затухающих колебаний

Свободные затухающие колебании показаны на рис.6.

Рис.6 Свободные затухающие колебания

Периодом колебания Т называется время одного полного колебания. Период определяется по формуле:

, (17)

где ω – собственная частота колебаний системы, Гц, которая определяется как:

(18)

Рис.7 Определение по графику периода Т и амплитуды А колебаний

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом колебаний, определяемым по следующей зависимости:

(19)

Величина, обратная периоду колебаний Т называется частотой колебаний f_с и измеряется в герцах:

(20)

Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом демпфирования следующей зависимостью:

(21)

Задание для самостоятельной работы.

1. Решите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (16) в графическом виде в соответствии с указанными значениями массы, коэффициента демпфирования и жесткости пружины (значения приведены в таблице 1). В качестве начальных условий примите смещение 0,01, то есть х(0)=0,01 и х^/(0)=0

2. Рассчитайте собственную частоту системы ω.

3. По графическому решению определите период колебаний Т. Рассчитайте частоту колебаний и логарифмический декремент колебаний.

4. Постройте фазовый портрет системы.

5. Исследуйте влияние массы на период, частоту и логарифмический декремент колебаний. Для этого рассчитайте вышеуказанные характеристики при указанных значениях массы в графе 5 Таблицы 1.

6. По результатам работы оформите отчет.

Таблица 1. Исходные данные для самостоятельной работы

№	Масса m, кг	Коэффициент демпфирования h	Жесткость пружины c	Варианты значений массы m
1	2	3	4	5
1	2	8	7,9105	5, 10, 15, 20
2	2	10	7,9105	5, 10, 15, 20
3	5	8	7,0105	1, 15, 25, 30
4	4	12	8,9105	1, 15, 25, 30
5	10	15	7,5105	2, 8, 15, 20
6	9	20	7,9105	2, 6, 15, 20
7	8	25	7,2105	2, 5, 15, 20
8	12	27	7,9105	2, 8, 17, 25
9	4	15	7,4105	1, 15, 25, 30
10	1	10	8,0105	5, 10, 15, 20
11	10	12	7,1105	2, 8, 15, 20
12	11	14	7,9105	2, 8, 15, 20
13	12	35	9,0105	2, 8, 15, 20
14	15	30	8,5105	5, 10, 20, 25
15	9	33	8,4105	2, 6, 15, 20
16	6	29	7,9105	2, 10, 15, 20
17	3	17	8,2105	1, 15, 25, 30
18	2	20	8,7105	5, 10, 15, 20
19	7	8	9,5105	4, 13, 18, 23
20	13	35	9,4105	2, 8, 17, 24