Министерство образования и науки

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматизации машиностроения

Кафедра «Информационные технологии в машиностроении»

С.П. Грачев, е.А. Маринин Исследование свободных затухающих колебаний с использованием системы MathCad

Лабораторный практикум

Дисциплина «Введение в математическое моделирование»

Направление 151900

«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»

Киров 2012

Грачев С.П., Маринин Е.А. Исследование свободных затухающих колебаний с использованием системы MathCad. Лабораторный практикум.- Киров: ВятГУ, 2012,-16 с. - электронно

© Вятский государственный университет, 2012

Содержание

Цель работы и методические указания для выполнения работы 4

1 Определение дифференциального уравнения. Классификация. 4

2 Решение дифференциальных уравнений в системе MathCad. 6

3 Исследование уравнения свободных затухающих колебаний. 12

Библиографический список 16

Цель работы и методические указания для выполнения работы

Учебная цель:

• изучить способы решения дифференциальных уравнений в системе MathCad; провести обработку экспериментальных данных свободных затухающих колебаний технологической системы горизонтально-расточного станка.

Методические указания:

1. Повторить теоретическую информацию о классификации дифференциальных уравнений.

2. Изучить способы решения дифференциальных уравнений в программе MathCad.

3. Провести обработку осциллограмм свободных затухающих колебаний и определить следующие параметры: период колебаний, собственную частоту системы, логарифмический декремент затухания.

4. .Изучить влияние массы на период, частоту, логарифмический декремент колебаний.

1 Определение дифференциального уравнения. Классификация.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Также дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это уравнение вида:

, (1)

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда F, как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1)

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида:

(2)

в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных x, y и производных порядков меньше n. Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.

В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.

Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие:

, (3)

где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно.

Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:

(4)

При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

, (4)

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.