Пример 4.

Вычислить определенный интеграл из примера 1 методом Монте-Карло.

Введем исходные данные: отрезок интегрирования (А4:B4); количество отрезков разбиения (C4); формулу расчета шага интегрирования h (D4) (см. рис. 11).

Введем в ячейку B6 формулу =СЛЧИС()*(4–1)+1 (происходит генерация случайных чисел в диапазоне от 1 до 4) и заполним блок В6:В16.

Введем подынтегральную функцию

в ячейку С6 и заполним блок С6:С16.

Введем в ячейку C17 формулу =СУММ(C6:C16), а в ячейку C18 формулу =C17*D4.

Рис. 11. Численное интегрирование по методу Монте-Карло

Задание

Составить сравнительную таблицу результатов численного решения определенного интеграла, полученных рассмотренными методами (см. табл. 1). Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений, приняв в качестве истинного значения интеграла результат, полученный с помощью формулы Симпсона при n = 20.

Таблица 1

Численное интегрирование. Оценка погрешности

	I₁₀	(I)	(I)	I₂₀	(I)	(I)
1-я ф-ла прямоуг.	0,60419	0,05275	8,731%	0,57761	0,02617	4,531%
2-я ф-ла прямоуг.	0,50028	0,05116	10,226%	0,52566	0,02578	4,904%
усл. ф-ла прямоуг.	0,55104	0,00040	0,073%	0,55134	0,00010	0,018%
ф-ла трапеций	0,55224	0,00080	0,145%	0,55164	0,00020	0,036%
ф-ла Симпсона	0,55143	0,00001	0,002%	0,55144	–	–

Обозначим приближенное значение интеграла буквой I, тогда

Указанная таблица составляется средствами Excel. Для этого значения интегралов, полученные рассмотренными методами при n = 10 и n = 20, переписываются вручную. Значения погрешностей вычисляются по вышеприведенным формулам.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вычислить интеграл по формулам прямоугольников (все разновидности), трапеций, Симпсона и методом Монте-Карло (n = 10). Обеспечить точность решения  = 0,001. Полученные результаты сравнить с точными значениями интегралов, приведенными в ответах.

1. 2. 3.