Непопалов В.Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока
.PDFКаноническая форма уравнений метода контурных токов для цепи с индуктивно связанными элементами могут быть получены непосредственно по
виду схемы электрической цепи. |
|
a) |
|
|
б) |
|||
На рис. 4.2 пока- |
L1 |
|
L1 |
|
||||
заны фрагменты |
элек- |
M |
L2 |
M |
L2 |
|||
трической цепи с кон- |
|
|
|
|
|
|
||
турным током |
I& |
и |
& |
|
|
|
& |
|
|
kk |
|
|
|
|
|
||
индуктивно связанны- |
Ikk |
|
|
|
Ikk |
|
||
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
||||
ми элементами. |
|
|
|
Z kk |
|
|
||
В собственное сопротивление |
кроме сопротивлений прочих ветвей |
|||||||
войдет величина +2Z M , так как контурный ток I&kk |
по отношению одноимен- |
ных зажимов ориентирован одинаковым образом (рис. 4.2, а) или − 2Z M , так как контурный ток I&kk по отношению одноименных зажимов ориентирован не одинаковым образом (рис. 4.2, б).
На рис. 4.3 пока- |
|
M |
a) |
|
б) |
|
заны фрагменты |
элек- |
|
|
|||
|
|
M L2 |
||||
трической цепи с кон- I& |
L |
L2 |
I& |
L |
||
|
kk |
1 |
|
kk |
1 |
|
турными токами |
I&kk , |
|
|
|
|
|
I&mm и индуктивно свя- |
|
I&mm |
|
|
I&mm |
|
занными элементами в |
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
этих контурах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общее сопротивление контуров Z km = Z mk кроме сопротивлений ветвей общих для этих контуров войдет величина + Z M , если контурные токи I&kk и I&mm по отношению одноименных зажимов ориентированы одинаковым образом (рис. 4.3, а) или − Z M , если контурные токи I&kk и I&mm по отношению одноименных зажимов ориентированы не одинаковым образом (рис. 4.3, б).
Уравнения метода узловых напряжений могу быть получены по виду схемы, если сделать развязку индуктивных связей (рис. 4.4).
jωL1 |
|
jωM |
jω(L1 −M ) |
jωL2 M |
→ |
|
jω(L2 − M ) |
jωL1 |
|
|
jω(L1 + M ) |
M |
→ |
− jωM |
jω(L2 + M ) |
|
|||
jωL2 |
|
|
Рис. 4.4
51
2. Решение типовых задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К цепи со схемой рис. 4.5 приложено синусоидальное |
|
I& |
|
|
|
||||||
напряжение с действующим значением U = 100 B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&2 |
|
|
|
|
I&1 |
|
|
|||||
Активное сопротивление R = 100 Ом, на частоте при- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
R |
|||
ложенного напряжения реактивные сопротивления |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XL1 = XL2 = XC = 100 Ом, XM = 0,5 XL1. |
U& |
|
|
|
|
M |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
Найти действующие значения токов ветвей, ак- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
L2 |
|||
тивную мощность, передаваемую из одной ветви в |
|
|
|
|
|
|
|
||||
другую за счет индуктивной связи между ними. По- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строить векторные диаграммы токов и напряжений.
Рис. 4.5
Решение
Принимаем комплекс действующего значения U& =100 В. Для указанных на рис.4.5 направлений токов уравнения Кирхгофа имеют вид:
I& = I&1 + I&2 ;
Z1I&1 + jX M I&2 =U& ; jX M I&1 + Z 2 I&2 =U& ,
где Z1 = − jX C + jX L1 = − j100 + j100 = 0 ; Z 2 = R + jX L2 = 100 + j100 Ом; jX M = j50 Ом.
Умножаем второе уравнение на Z 2 , третье– на − jX M и складываем полученные уравнения. Получаем:
I&1 |
=U& |
Z 2 − jX M |
=100 |
100 + j100 − j50 |
= 4 + j2 А. |
||
Z1 Z 2 −( jX M )2 |
|
2500 |
|||||
|
|
|
|
Умножаем второе уравнение на − jX M , третье – на Z1 и складываем. Получаем:
I&2 = U& |
|
|
Z1 − jX M |
=100 |
− j50 |
= − j2 А. |
|||||||
Z1 Z 2 − ( jX M )2 |
2500 |
||||||||||||
Ток |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
I& = 4 + j2 − j2 = 4 А. |
|
|
|
||||||||||
Действующие значения токов: |
|
|
|||||||||||
I1 = |
|
|
|
I&1 |
|
|
|
|
= 4,47 А; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I2 = |
|
I&2 |
|
|
= 2 А; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
I = 4 А.
Для построения векторных диаграмм рассчитаем напряжения на элемен-
тах ветвей. |
|
U&L1 = jX L1I&1 + jX M I&2 ; |
U&L2 = jX L2 I&2 + jX M I&1 , |
52
jX L1I&1 = j100(4 + j2) = −200 + j400 В; |
jX L2 I&2 = j100(− j2) = 200 В; |
jX M I&2 = j50(− j2) = 100 В; |
jX M I&1 = j50(4 + j2) = |
U&L1 = −100 + j400 В; |
= −100 + j200 В; |
U&C = − jXC I&1 = − j100(4 + j2) = |
U&L2 =100 + j200 В; |
= 200 – j 400 В; |
U&R = − j200 В. |
Векторные диаграммы токов и напряжений приведены на рис. 4.6. jX M I&2
+ j |
|
|
|
U&L1 |
|
I& |
|
|
|
||||||
|
|
|
& |
− jX |
C |
||
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
jX L1I1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
U&L2 |
||
|
|
|
|
|
jX M I&1
I& |
|
|
|
& |
1 |
|
|
I&2 |
|
|
I& |
RI2 |
||
|
|
& |
||
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
jX L2 I&2 |
Рис. 4.6
Рассчитываем комплексные мощности первой и второй индуктивностей, обусловленные индуктивной связью между ними. Получаем:
S1M =U&1M I1 = jX M I&2 I1 = j50 (– j2)(4 – j2) = 400 – j200 BA; S 2M =U&2M I2 = jX M I&1I2 = j50(4 + j2) j2 = – 400 – j200 ВА.
Активная мощность в индуктивности L1 : Р1М = 400 Вт, Р1М > 0. Мощность отдается в магнитное поле индуктивностью L1 . Активная мощность в индуктив-
ности L2 : Р2М = – 400 Вт, Р2М < 0. Эта мощность поступает в L2 из магнитного
поля и численно равна мощности Р1М . Таким образом, активная мощность
источника Pист =UI cosϕ =100 4 = 400 Вт через первую ветвь поступает во вторую и
превращается в тепло в резисторе R .
I& |
I&1 |
I&2 |
R |
|
C |
|
|
|
|
|
|
U& |
W1 |
M |
W2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
L1 |
|
L2 |
|
Рис. 4.7 |
|
53
|
Действительно, мощность, рассеиваемая резистором R |
равна: |
P |
= I 2 R = 400 Вт. На рис. 4.7 показана схема включения ваттметров, для ре- |
|
R |
2 |
|
гистрации мощностей Р1М и Р2М. Следует отметить, что индуктивности L1 и L2
– идеальные элементы. Их активное сопротивление равно нулю.
Задача 4. 2 |
|
|
|
|
|
Найти токи ветвей, напряжение U2 |
и |
I&1 |
|
I&2 |
|
входное сопротивление в цепи со схемой |
R1 |
||||
рис. 4.8. Рассчитать величину активной |
|
R2 |
|||
мощности, передаваемой из ветви с |
то- |
U&1 |
|
Z U&2 |
|
ком I1 в ветвь с током I2, магнитным по- |
|
|
|
||
лем. Построить векторные диаграммы то- |
L1 |
|
L2 |
||
ков и напряжений. |
|
|
|||
|
|
|
|
||
U1 = 220 B; R1 = 60 Ом; R2 = 40 Ом; |
|
|
Рис. 4.8 |
||
X1 = 100 Ом; X2 = 80 Ом; kC = 0,6; Z = 40 − 20 j Ом. |
|||||
|
|
Решение
Выбираем положительные направления токов и напряжений как на рис. 4.8. Принимаем U&1 = 220В. Величина X M = kC X1 X 2 = 53,67 Ом. Обозначаем:
Z1 = R1 + jX1 = 60 +100 j Ом;
Z 2 = R2 + jX2 = 40 +80 j Ом;
Z M = jX M = j53,67 Ом.
Уравнения Кирхгофа имеют вид
I&1 Z1 + I&2 Z M =U&1 ;
I&2 Z 2 + I&1 Z M = 0 .
Из второго уравнения
I&2 = −I&1 Z M Z 2 .
Из первого уравнения получаем
I&1 = |
|
|
U& |
1 |
|
. |
|
Z1 |
− |
|
|
Z 2M |
|
||
|
|
Z 2 + Z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Комплексные действующие значения токов равны:
I&1 =1,33 −1,32 j = 1,88e−44,9o j А;
I&2 = −1 − 0,14 j = 1,01e−171,8o j А.
Напряжение
U&2 = I&2 Z = −42,76 +14,16 j = 45,05e161,7o j В.
54
Входное сопротивление определяем по закону Ома.
|
U& |
1 |
|
Z 2 |
|
44,9o j |
|
Z Вх = |
|
= Z1 − |
M |
= 83,04 +82,07 j =117,2e |
|
Ом. |
|
& |
|
Z 2 + Z |
|
||||
|
I1 |
|
|
|
|
Для построения векторной диаграммы рассчитываем напряжения на элементах:
U& |
R1 |
= I& |
R = 77,79 − 79,48 j В; U& |
XL1 |
|
|
1 |
1 |
|
||
U&1M = I&2 jX M = 7,75 −53,5 j В; |
|
||||
U& |
R2 |
= I& |
R |
= −39,88 −5,78 j В; |
|
|
2 2 |
|
|
U&XL2 = I&2 jX L2 =11,55 − 79,75 j В;
U&2 M = I&1 jX M = 71,09 + 71,36 j В; U&Z = I&2 Z 2 = −42,76 +14,16 j В.
Векторные диаграммы напряжения и тока
= I&1 jX L1 =132,47 +132,98 j В;
представлены на рис. 4.9.
jX1I&1 |
jX M I&2 |
+ j |
|
|
|
|
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
& |
U& |
R1 |
|
|||||
U L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U&L2 |
U& |
|
|
|
|
|
I&2 |
I&1 |
|
|
|
|
|
|
|
U&2 |
U&R2 |
jX2 I&2 |
jX M I&1 |
Рис. 4.9
Рассчитываем баланс мощностей.
Комплексные мощности S ист источника и нагрузок S нагр равны:
S ист =U&1I1 = 292,55 +291,42 j ВА,
S нагр = ( U&R1 + U&XL1 )I1 + U&1M I1 + (U&R2 + U&XL2 +U&Z )I2 + U&2 M I2 =
= 292,55 + 291,42 j ВА.
Баланс мощностей выполняется.
Активная мощность P1M , отдаваемая в магнитное поле индуктивностью L1 ,
P1M = Re(U&1M I2 ) =81,17 Вт.
Активная мощность P2M , получаемая из магнитного поля индуктивностью L2 ,
55
P2M = Re(U&2M I1 ) =– 81,17 Вт; P1M = −P2 M .
Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях второй ветви,
P2 = I22 (R2 + Re(Z)) = 8117, Вт, P2 = P1M .
Задача 4. 3
Найти токи ветвей цепи со схемой рис. 4.10. Величины комплексных сопротивлений: Z1 = 10 −8 j Ом; Z 2 = 6 Ом; Z 3 = − j6 Ом, реактивные сопротивления
индуктивностей L1 и L2 : XL1 = 6 Ом; XL2 = 10 Ом, коэффициент связи kC = 0,85, E&1 = 50 В; E&2 = 50j В. Проверить выполнение баланса мощностей.
I&1 |
|
L1 |
M L2 |
|
& |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
|
Z |
3 |
|
Z |
2 |
& |
|
& |
& |
|||
|
|
|
|
|
I |
|
|
I |
|
|||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
1 |
& |
I |
3 |
|
2 |
|
|
|
& |
|
|
|
|
I22 |
|
I& |
|
|
||
& |
I22 |
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
||||
|
I |
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||||
E1 |
|
I3 |
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
Рис. 4.10
Решение
Методом контурных токов. Определяем положительные направления токов ветвей и главные контура как показано на рис. 4.10. Комплексное сопротивление взаимной индукции
Z M = jX M = jkC X L1 X L2 .
Уравнение в матричной форме записи имеет вид
Z11 |
Z12 |
|
I& |
|
E& |
|
|
|
|
11 |
|
= 11 |
. |
Z 21 |
Z 22 |
I&22 |
E&22 |
Собственные комплексные сопротивления контуров:
Z11 = Z1 + Z 2 + j( X L1 + X L2 ) + 2Z M ; Z 22 = Z1 + jX L1 + Z 3 .
Общие комплексные сопротивления контуров:
Z12 = −Z1 − jX L1 −Z M , Z 21 = Z12
Собственные э. д. с. контуров
E&11 = −E&1 + E&2 ; E&22 = E&1 .
56
В собственное комплексное сопротивление первого контура Z11 вошла величина + 2Z M , т. к. контурный ток I&11 ориентирован относительно одноименных зажимов элементов X L1 и X L2 одинаковым образом.
В общее комплексное сопротивление Z12 вошла величина − Z M , т. к. контурные токи I&11 и I&22 ориентированы относительно одноименных зажимов элементов X L1 и X L2 не одинаковым образом.
Подставляя данные, матричное уравнение принимает вид
16 + 21,17 j |
−10 − 4,58 j I& |
|
|
−50 +50 j |
|
|
||||||
|
10 − 4,58 j |
10 − |
8 j |
11 |
|
= |
|
50 |
|
, |
|
|
− |
I&22 |
|
|
|
|
|
||||||
а его решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I& |
|
16 +21,17 j |
−10 −4,58 j |
−1 −50 +50 j |
|
|||||||
11 = |
|
|
|
10 −8 j |
|
|
|
50 |
|
|
, |
|
I&22 |
−10 −4,58 j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
дает значения контурных токов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I&11 = 1,45 + 4,56j А; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I&22 = 0,11 + 5,31j А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Токи ветвей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&2 |
= I&11 =1,45 + 4,56j = 4,78e j72o А, |
|
|
|
|
|
||||||
I&3 |
= I&22 |
= 0,11 + 5,31j = 5,31e j89o |
А, |
|
|
|
|
|||||
I&1 = −I&11 + I&22 |
= −1,34 + 0,76 j = 1,54e j150o А. |
|
|
|
||||||||
Напряжения на элементах ветвей для построения топографической диа- |
||||||||||||
граммы напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U&XL1 = jX L1I&1 = −4,54 −8,03 j В, |
|
|
|
|
|
|
||||||
U&1M = jX M I&2 |
= 30 − 9,56 j В, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
U&Z1 = I&1 Z1 = −7,34 +18,27 j В, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U&XL2 = jX L2 I&2 |
= −45,57 +14,52 j В, |
|
|
|
|
|||||||
U&2 M = jX M I&1 = 4,98 +8,82 j В, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U&Z 2 = I&2 Z 2 = 8,71 + 27,32 j В, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U&3 |
= I&3 Z 3 =31,88 – 0,68 j B. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для расчета баланса мощностей определяем напряжения: |
||||||||||||
U&1 = I&1 (Z1 + jX L1 ) − I&2 Z M =18,12 + 0,68j B, |
|
|
|
|||||||||
U&2 |
= I&2 (Z 2 + jX L2 ) − I&1 Z M =–31,88 + 50,68j B, |
|
|
|||||||||
U&3 |
= I&3 Z 3 =31,88 – 0,68j B. |
|
|
|
|
|
|
|
Комплексные мощности источников:
57
S ист = E&1I1 + E&2 I2 = 160,8 + 34,8j BA
и нагрузок
S нагр =U&1I1 +U&2 I2 +U&3I3 = 160,8 + 34,8j BA
равны. Баланс мощностей выполняется. Методом узловых напряжений.
Делаем развязку индуктивных связей (схема на рис. 4. 11). При таком, как на рис. 4.10 расположение одноименных зажимов, к индуктивностям L1 и L2 необходимо прибавить + М, а в ветвь Z 3 добавить комплексное сопротивление
−jωM .
Всхеме два узла. Узел 0 –базисный. Узловое уравнение имеет вид
I&1 |
L1 + M |
1 L2 + M |
I&2 |
|
|
Z1 |
|
− jωM |
Z 2 |
|
E&1 |
U&10 |
Z 3 |
E&2 |
|
|
|
|
I&3
0
Рис. 4.11
U& |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
10 ( |
|
+ |
|
+ |
|
|
) = |
|
|
|||
Z1 + j( X L1 + X M ) |
Z 2 + j( X L2 + X M ) |
Z 3 − jX M |
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
E& |
|
|
+ |
|
E& |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
Z1 + j( X L1 + X M ) |
Z 2 + j( X L2 + X M ) |
После подстановки данных получаем уравнение
(0,1 − 0,01 j)U&10 = 6,8 − 0,93 j ,
откуда
U&10 = 66,86 −1,42 j В.
Токи ветвей
I&1 |
|
|
|
E& |
−U& |
10 |
|
|
|
o |
|
||
= |
|
|
10 |
|
|
|
|
= −1,34 |
+ 0,76 j =1,54e j150 |
А; |
|||
Z1 |
+ j( X L1 + X M ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
I&2 |
= |
|
|
E&20 −U&10 |
|
|
=1,45 + 4,56 j = 4,78e j72o А; |
||||||
|
Z 2 |
+ j( X L2 + |
X M ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
I&3 |
= |
|
|
U&10 |
|
= 0,11 +5,31 j = 5,31e j89o А. |
|
||||||
|
Z 3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− jX M |
|
|
|
|
|
|
Внимание. Напряжения на элементах ветвей необходимо рассчитывать по выражения для цепи со схемой рис. 4.10.
Решение методом контурных токов с использованием топологический формул. Для графа на рис. 4.10 (выделена ветвь дерева) записываем матрицы:
−1 |
1 |
0 |
, |
|
главных контуров B = |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
58
E& |
|
|
|
|
1 |
|
, |
э. д. с. ветвей E = E&2 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Z1 + jX L1 |
||
комплексных сопротивлений ветвей Z |
b |
= |
− jX |
M |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы матрицы Zb
Z12 = Z 21 = − jX M ,
|
− jX M |
|
0 |
|
||
Z |
2 |
+ jX |
L2 |
0 |
. |
|
|
0 |
Z |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
так как относительно одноименных зажимов токи ветвей ориентированы не одинаковым образом.
Для расчета баланса мощностей следует использовать выражения: комплексная мощность источников S ист = ET I , комплексная мощность нагрузок S нагр = U& T I .
В этих выражениях: ET |
– транспонированная матрица, |
|
|
– матрица сопряжен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных комплексных токов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
8j |
|
z2 |
|
|
6 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6j XL1 |
|
|
|
6 XL2 |
|
10 |
kc |
|
0.85 |
|
|
← Исходные данные. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e1 |
|
|
|
50 |
|
|
e2 |
|
|
50j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет сопротивления |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
XM |
|
|
|
|
kc. XL1.XL2 |
|
XM = 6.58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взаимной индукции. |
|||||||
rg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Формула перевода из |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиан в градусы. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
j .XL1 |
|
|
|
|
|
j .XM |
|
|
0 |
|
|
|
|
e1 |
|
|
← Определение и расчет |
||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j .XM |
z2 |
|
|
|
|
|
j .XL2 |
0 |
Eb |
|
|
e2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
топологических матриц. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
z3 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2i |
|
|
6.58i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Zb = |
|
|
|
|
|
6.58i |
6 + |
10i |
0 |
|
|
|
Eb = |
|
|
|
|
|
50i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Znn |
|
|
|
|
B.Zb.BT |
|
|
Znn = |
16 + |
21.17i |
|
|
10 |
|
|
4.58i |
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет матрицы кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
4.58i |
10 |
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
турных сопротивлений. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Enn |
|
|
|
|
B.Eb |
|
|
|
|
|
Enn = |
|
|
50 + |
50i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет матрицы кон- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
турных э. д. с. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Znn 1.Enn |
|
|
|
|
|
1.45 + |
4.56i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Inn |
|
|
|
|
|
|
Inn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет матрицы кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.11 + |
5.31i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
турных токов. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
|
|
BT.Inn |
|
|
1.34 |
+ |
0.76i |
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ib |
|
Ib = 1.45 |
+ |
4.56i |
i2 |
|
Ib |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
0.11 |
+ |
5.31i |
i3 |
|
|
i1 = |
|
1.34 + 0.76i |
i2 = 1.45 + 4.56i |
i3 = 0.11 + 5.31i |
|||||||||
|
|||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
i1 |
|
ψi1 |
|
|
rg.arg(i1) |
I1 = 1.54 |
ψi1 |
= 150.55 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
I2 |
|
|
|
|
i2 |
|
ψi2 |
|
|
rg.arg(i2) |
I2 = 4.78 |
ψi2 |
= 72.32 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
I3 |
|
|
|
|
i3 |
|
ψi3 |
|
|
rg.arg(i3) |
I3 = 5.31 |
ψi3 |
= 88.78 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
18.12 |
+ |
0.68i |
u1 |
|
|
|||||
U |
|
Zb.Ib U = |
|
31.88 |
+ |
50.68i |
u2 |
|
U |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
31.88 |
|
|
0.68i |
u3 |
|
|
||||
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
ψu1 |
|
rg.arg(u1) |
U1 = 18.14 |
ψu1 |
= 2.14 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
U2 |
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
ψu2 |
|
rg.arg(u2) |
U2 = 59.87 |
ψu2 |
= 122.17 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
U3 |
|
|
|
|
u3 |
|
|
|
|
ψu3 |
|
|
|
rg.arg(u3) |
U3 = 31.88 |
ψu3 |
= |
|
1.22 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
EbT. |
|
|
|
Se = 160.88 + 34.8i |
|
|
|
|
|||||||||||
Se |
|
|
|
Ib |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
UT. |
|
|
|
|
Sz = 160.88 + 34.8i |
|
|
|
|
|||||||||||
Sz |
|
|
|
|
Ib |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
←Расчет матрицы токов ветвей.
←Расчет действующих значений и начальных фаз токов ветвей.
←Расчет матрицы напряжений на элементах ветвей.
←Расчет действующих значений и начальных фаз напряжений на элементах ветвей.
←Расчет комплексной мощности источников.
←Расчет комплексной мощности нагрузок.
Токи ветвей:
I&1 =1,54e j150o А;
I&2 = 4,78e j72o А; I&3 = 5,31e j89o А.
4.3. Задачи и вопросы для самоконтроля
1.Какие зажимы индуктивно связанных элементов называются одноименными?
2.Сформулировать правила записи уравнений второго закона Кирхгофа для цепи с индуктивно связанными элементами.
3.Сформулировать правила, по которым определяются собственные и общие сопротивления контуров.
4.Чему равна эквивалентная индуктивность двух последовательно согласно включенных индуктивностей?
5.Записать уравнения Кирхгофа для цепей со схемами рис. 4.13, 4.14.
6.Записать уравнения методов контурных токов и узловых напряжений для цепи со схемой рис. 4.13.
7.Определить показания вольтметра U (рис. 4.14), если R1 = 120 Ом, ωL1 =
160 Ом, 1ωC =320 Ом. Коэффициент связи kC =0,9. Вольтметр– идеальный и
измеряет действующие значения напряжения.
8. Записать уравнения Кирхгофа для схемы цепи по рис. 4.14, если вместо вольтметра U включен амперметр А ( RA = 0).
60