Непопалов В.Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока
.PDFМгновенное значение напряжения на активном сопротивление в фазе с током, |
|||||||||
на индуктивности– опережает ток на угол π 2 . |
|
|
|
||||||
Действующие значения напряжений: |
π |
|
|
||||||
U R = UmR |
|
10 |
|
|
|
|
|
||
= |
= 7,07 В; |
|
ϕ = 4 |
U L |
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
U RL |
|
U L = UmL |
= |
10 |
= 7,07 В; |
|
ϕ |
UR |
I |
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
U RL = |
2 7,07 = 10 В. |
|
|
Рис. 1.8 |
|
||||
Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8. |
|
||||||||
Амплитудное значение |
|
|
|
|
|
||||
UmRL = |
2 10 = 14,1 В. |
|
|
|
|
||||
Начальная фаза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψu = ϕ = arctg U L |
= π (т. к. ψi = 0 ), |
|
|
|
|||||
следовательно |
|
U R |
4 |
|
|
|
|
||
uRL =UmRL sin(ωt + ψu )=14,1sin(ωt + π 4) В. |
|
|
|||||||
Зависимости uR (ωt) ; uL (ωt) ; uRL (ωt) представлены на рис. 1.9. |
|
||||||||
|
B u |
|
|
|
|
|
|
||
|
10 |
|
|
uRL |
uR |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
uL |
|
|
|
ωt |
|
|
|
|
0 |
|
|
π |
|
|
||
|
|
|
|
π |
3π |
2π |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
−5 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
Задача 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
C |
К цепи со схемой рис. 1.10 приложено синусоидаль- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
ное напряжение u =141sin 314t В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
uR |
|
|
|
|
|
|
Найти мгновенные и действующие значения то- |
|
|
|
|
uC |
||||||
|
|
|
i |
|
ка и напряжений на всех участках цепи, если |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 30 Ом, С = 79,62 мкФ. |
|
|
Рис. 1.10 |
|||||||
|
|
|
11
Решение
Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление ХС емкости С на частоте ω = 314 с–1:
|
ХС = |
1 |
= |
|
106 |
|
=40 Ом. |
||
|
ωC |
314 79,62 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Полное сопротивление цепи |
|
||||||||
|
Z = R2 + XC2 = 302 + 402 =50 Ом. |
||||||||
Амплитудные значения: |
|
||||||||
- |
тока i : Im = |
Um |
= |
141 |
= 2,82 А; |
||||
Z |
|
||||||||
|
|
|
|
50 |
|
|
|||
- |
напряжения на резисторе R: UmR = RIm = 30 2,82 = 84,6 В; |
||||||||
- |
напряжения на емкости С: UmC = XC Im = 40 2,82 = 112,8 В. |
Угол сдвига фаз между напряжением u и током i
ϕ = arctg XRэк = arctg − RXC = arctg −3040 = – 53°.
Начальная фаза тока i определяется из соотношения ψu −ψi = ϕ. Откуда,
ψi = −ϕ = 53°.
Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи: i = Im sin(ωt + ψi )=2,82
uR =UmR sin(ωt + ψi )=84,6 sin(314t +53o )t В;
uC =UmC sin(ωt + ψi −90o )=112,8 sin(314t −37o )В.
Действующие значения:
I = Im2 =2 А; UR = UmR2 =60 В; UC = UmC2 =80 В.
Задача 1.3
Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:
U = 10 В; I = 2 А; ϕ = 30°.
Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника.
Решение.
Имеем по определению:
Z = UI =5 Ом;
12
Rэк = Z cos ϕ = 5cos 30o =4,33 Ом; X эк = Z sin ϕ = 5sin 30o = 2,5 Ом.
Задача 1.4
В цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах f1 =500 Гц и f2 =1000 Гц равны, соответственно, I1 = 1 А и I2 = 1,8 А.
Определить параметры цепи R и С, если на этих частотах напряжение на входе
U = 100 B.
Решение
По определению на частотах f1 и f2 имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 = |
U |
; |
Z2 |
= |
|
U |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 = R + ω C |
= R + |
C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ω C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ω2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Программа расчета в пакете Mathcad. |
|
|
|
← Присвоение переменным заданных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
100 |
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
500 f2 |
|
|
|
1000 |
I1 |
|
1 I2 |
|
|
1.8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
z2 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
z1 = 100 |
z2 = 55.556 |
|
|
|
условием задачи величин. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет полных сопротивлений на |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.π.f1 |
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
|
2.π.f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
частотах f1 и f2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
100 |
C |
|
|
10 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Расчет угловой частоты. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Give |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Задание |
приближенных |
значений |
|||||||||||||||||
R2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
z12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметров R и С цепи. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
← Решение системы нелинейных урав- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1.C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нений. |
|
|
|
нажмите [Ctrl] |
= |
|||||||
R2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для набора |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2.C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC Find(R, C)
27.962
RC =
3.315 10 6
←Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и С цепи.
←R = 27, 9 Ом, С = 3,3 мкФ.
13
Значения параметров цепи: R = 28 Ом; С = 3,3 мкФ.
Задача 1.5
Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью G = 0,011 Ом–1 и реактивной проводимостью В = 0,016 Ом –1. Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В.
Решение
Полная проводимость
Y = G2 + B2 = 0,0112 + 0,0162 = 0,019 Ом–1.
Действующее значение тока
I =YU = 0,019 30 = 0,58 А.
Активная мощность
P =UI cos ϕ =UI GY = 30 0,58 00,,019011 = 10,1 Вт.
Задача 1.6
Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0,1 А (рис1.11). Найти действующие значения напряжения u, токов iL и i, если R = 430 Ом;
X L = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и полная мощности этого двухполюсника?
Решение
i iL
iR
u |
R |
L |
Положительные направления напряжения и токов ука- |
Рис. 1.11 |
||||
заны на рис. 1.11. |
|
|
|
||
Действующее значение тока IR =0,1 А. |
|
||||
По закону Ома U = IR R = 0,1 430 = 43 В. |
|
||||
Ток |
|
|
|
||
IL = |
U |
= |
43 |
= 0,072 А. |
|
|
600 |
|
|||
|
X L |
|
|
Ток
I = IR2 + IL2 = 0,12 + 0,0722 = 0,123 А.
Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имем
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
–3 |
–1 |
Y = |
|
|
|
= |
|
= 2,86 10 |
|||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
Ом . |
|||
|
|
R |
|
|
X L |
|
|
430 |
|
|
600 |
|
|
|
14
Ток
I =YU = 2,86 10 –3 43 = 0,123 А.
Мощности:
P = IR2 R = 4,3 Вт; Q = IL2 X L = 3,082 ВАр, S =UI =5,29 ВА.
Выполняется соотношение P2 +Q2 = S 2 .
Задача 1.7
Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 UC =24 В. Найти действующие значения напряжения u и тока
i, если ХС = 12 Ом; R = 16 Ом.
Решение
Определяем действующее
I = UC = 24 = 2 А.
XC 12
Полное сопротивление цепи
Z = R2 + XC2 = 162 +122 = 20 Ом.
Действующее значение напряжения u U = IZ = 2 20 = 40 В.
Задача 1.8
Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения и токаи активной мощности
(рис. 1.12).
Показания приборов:
i |
A |
W |
I |
|
|
|
|
|
|||
|
iC |
C |
|
||
|
u |
U |
П |
||
|
U |
|
|||
|
|
Рис. 1.12 |
|
|
А → 0,5 А, U → 100 В, W → 30 Вт.
Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (ВС < Вэк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника.
Решение
Действующие значения: I = 0,5 А, U = 100 В. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, Р = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника
Z = |
U |
= |
100 |
= 200 Ом. |
||
I |
|
0,5 |
||||
|
|
|
15
Эквивалентное активное сопротивление |
а) |
U |
|
IC |
б) |
|
IC |
U |
|
|||||||||||
R |
= |
P |
|
= |
30 |
|
= 120 Ом. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|||||
эк |
I 2 0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I′ |
|
I |
|
I′ |
|
|||||||||
Эквивалентное реактивное сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ϕ< 0 |
|
|
|
|||||||||||
X эк = |
|
Z 2 − R2 |
= 2002 −1202 = |
|
IC |
|
ϕ> 0 |
|
IC |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 160 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.13 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Характер реактивного сопротивления индуктивный ( Хэк = X L , |
ϕ > 0 ). После |
включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I′ < I . Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, б.
Полная проводимость двухполюсника
Y = UI = 1000,5 = 5 10−3 Ом –1 .
Эквивалентная активная проводимость
Gэк = UP2 = 100302 = 3 10−3 Ом –1 .
Эквивалентная реактивная проводимость
B = Y 2 |
−G2 |
= 25 10−6 −9 10−6 = 4 10−3 Ом –1 . |
эк |
эк |
|
Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,
ZR = GY и XZ = YB .
Следовательно,
Gэк = RZэк2 = 2001202 = 3 10−3 Ом –1; Bэк = XZэк2 = 2001602 = 4 10−3 Ом –1.
1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля
1. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону uL =141sin(1000t −30o) .
Найти мгновенное значение тока в индуктивности.
2. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен i = 0,1sin(400t + π3) А.
Найти мгновенное значение напряжения на емкости.
3. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением
R = 160 Ом и емкостью С = 26, 54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока i = 0,1sin 314t А.
Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?
16
4.Записать уравнения идеальных элементов в цепи синусоидального тока. Нарисовать векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов.
5.Определить понятие угла сдвига фаз ϕ. Почему возникает угол ϕ в цепях синусоидального тока?
6.Как определить действующее значение синусоидального тока (напряжения)? Какой физический смысл имеют эти величины?
7.Дать определение активной мощности. В каких единицах измеряется активная мощность? Нарисовать схему включения ваттметра.
8.В чем заключается разница между активной, реактивной и полной мощностями?
9.Определить понятия активных и реактивных составляющих напряжения и тока.
10.Как определяются полное, эквивалентные активное и реактивное сопротивление пассивного двухполюсника?
11.Как определяются полная, эквивалентные активная и реактивная проводимость пассивного двухполюсника?
12.Как экспериментально определить эквивалентные параметра пассивного двухполюсника?
13.На участке цепи последовательно включены сопротивление R = 1000 Ом и индуктивность L = 0,12 Гн. Действующее значение синусоидального напряжения U R = 10 В. Частота f = 1000 Гц.
Найти действующие значения тока и напряжения на участке цепи.
14.Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентным активным сопротивлением R = 160 Ом и эквивалентным реактивным сопротивлением Х = 120 Ом . Напряжение на входе двухполюсника U = 20 В.
15.Найти действующее значение тока i в электрических цепях со схемами рис.
1.14, а, б, в. U = 100 В, R = 80 Ом, X L = 100 Ом, XC = 60 Ом.
i |
R |
а) |
i |
|
б) |
i |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
|
X L |
u |
R |
X C |
u |
R |
X |
L |
|
|
|
|
||||||
|
XC |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14 16. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:
U = 10 В; I = 2 А; ϕ = – 30°.
Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления и проводимости двухполюсника.
17
2. Комплексный метод расчета
2.1. Общие сведения
При расчетах установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока мгновенным значениям синусоидальных функций времени ставят в соответствие комплексные мгновенного значения. Например, для тока i(t) = Im sin(ωt + ψi ) комплексные мгновенного значение имеет вид
i = Ime j(ωt+ψi ) = Ime jψi e jωt = Im cos(ωt + ψi ) + jIm sin(ωt + ψi ) .
Мнимая часть комплексного мгновенного значения равна i(t) : i(t) = Im[Ime j(ωt+ψi ) ].
Комплексное число I&m = Ime jψi называют комплексным амплитудным
значением или комплексной амплитудой, а
I& = I&m2 = Ie jψi
– комплексным действующим значением тока.
Аналогично определяются комплексные мгновенные значения синусоидальных напряжений, э. д. с., электрических зарядов, магнитных потоков и т. д.
Так, напряжению u(t) =Um sin(ωt + ψu ) и э. д. с. e(t) = Em sin(ωt + ψe ) соответствуют комплексные мгновенные значения
u =Ume jψu e jωt , e = Eme jψe e jωt ,
комплексные амплитуды U&m =Ume jψu , E&m = Eme jψe и комплексные действующие значения
U& =Ue jψu , E& = Ee jψe .
Производной от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция умножения на jω комплексного мгновенного значения:
dtd (Im sin(ωt + ψi ))= ωIm sin(ωt + ψi + π2) →
→ ωIme jωt e jψi e j π2 = jωIme jωt e jψi = jωi .
Интегралу от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция деления на jω комплексного мгновенного значения:
∫(Im sin(ωt + ψi ))= ω1 Im sin(ωt + ψi − π 2) →
→Iωm e jωt e jψi e− j π2 = Ijωm e jωt e jψi = jiω.
18
|
В последних выражениях использовалась формула Эйлера: |
|
|
|||||
|
|
|
|
e± jα = cos α ± j sin α. |
|
|
||
При α = |
π имеем: e j π2 = j , |
e− j π2 = − j = 1 . |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
j |
|
|
|
|
|
Математические модели идеальных элементов в комплексной форме при- |
|||||||
ведены в таблице 2.1. |
|
|
Таблица 2.1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Установившийся синусоидальный режим |
|
|
|||
Идеальный |
Математическая модель |
Математическая модель |
|
|
||||
|
элемент |
элемента относительно ве- |
элемента в комплексной |
|
|
|||
|
|
|
щественных функций вре- |
форме |
|
|
||
|
|
|
|
мени |
|
|
|
|
Сопротивление |
|
|
|
|
|
|
||
i |
uR |
R |
uR = RI m sin(ωt + ψi ) |
|
U&R = I&R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Индуктивность |
|
|
π) |
|
π |
|
||
i |
uL |
L |
uL = ωLIm |
sin(ωt + ψi + |
U&L = jωLI& = jX L I& = X L I&e j 2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Емкость |
|
|
|
|
|
|
||
|
uC |
|
1 |
|
π |
I& |
− j |
π |
i |
|
C |
uC = ωC Im sin(ωt + ψi − |
2) |
U&C = jωC = − jX C I& = XC I&e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для пассивного двухполюсника (рис. 2. 1, а), вводятся по определению |
|||||||
следующие величины: |
|
|
|
|
|
|||
Комплексное сопротивление |
|
|
|
|
|
|||
Z = U& |
= Ue jψu |
= Ze j(ψu −ψi ) = Ze jϕ = Z cos ϕ+ jZ sin ϕ = R + jX , |
|
|
||||
|
I& |
Ie jψi |
|
|
|
|
|
|
Комплексная проводимость |
|
|
|
|
|
|||
Y = |
I& = |
Ie jψi =Ye− j(ψu −ψi ) =Ye− jϕ =Y cos ϕ− jY sin ϕ = G − jB . |
|
|
||||
|
U& |
Ue jψu |
|
|
|
|
|
|
|
Из последних выражений следует, что этот участок цепи можно предста- |
|||||||
вить в виде последовательно соединенных эквивалентных активного R и реак- |
||||||||
тивного X сопротивлений (рис. 2. 1, б), либо параллельно соединенных эквива- |
||||||||
лентных активной G и реактивной B проводимостей (рис. 2. 1, в). Выше приве- |
||||||||
денные выражения имеют место при ϕ > 0. |
|
|
|
19
|
& |
I& |
R |
jX |
I& |
|
U& |
I |
|
|
|||
П |
|
|
U& |
G |
− jB |
|
|
U& |
|
|
|||
|
а) |
|
|
б) |
|
в) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
В таблице 2.2 приведены схемы типичных участков цепи синусоидального тока и комплексные сопротивления этих участков.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
Схема участка цепи |
Комплексное сопротивление |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
Z R = R |
|
|||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
j π |
||||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z L = jωL = jX L = X Le 2 |
||||||||
|
|
|
|
I& |
|
|
|
|
|
|
|
C |
Z C = − j |
1 |
== − jXC = XC e− j π2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I& |
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
Z = Z1 + Z 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 Z 2 |
|
|
|
I& |
|
|
|
Z1 |
|
|
|
Z 2 |
|
Z = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 + Z 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход к комплексным сопротивлениям и проводимостям и комплексным действующим значениям напряжений и токов позволяет:
1. Записать закон Ома для участка цепи U& = ZI&,
2. Первый закон Кирхгофа для любого узла ∑I&k = 0 (алгебраическая сумма
k
по всем k ветвям узла),
3. Второй закон Кирхгофа для любого контура ∑U&l = ∑E&l (алгебраические
l l
суммы по всем l ветвям контура),
Мощности источников и пассивных участков цепи в комплексной форме записи имеют вид
S =U&I =Ue jψu Ie− jψi = Se jϕ = S cos ϕ+ jS sin ϕ = P + jQ,
где S комплексная мощность, I = Ie− jψi сопряженный комплекс действующего значения тока, S полная мощность.
20