3. Просторова система сил

ЗавданняС4. Зведення системи сил до найпростішого виду

Визначити голвний вектор і головний момент просторової системи сил відносно центра О, а також установити, до якога най- простішого виду зводиться задана система сил. Напрямки дії сил пока-­ зано на рисунках Модулі сил i геометричні розміри наведені в таблиці до завдання

Приклад. Уздовж сторін паралелепіпеда (рисС3.1) діють чотири сили, модулі яких = 20 Н, = 30 Н, F= 40 Н, F₄ - 50 Н.

Звести цю систему сил до найпростішого виду, якщо а= 3 м, Ь = 6 м, с = 2 м.

Р о з в ' я з а нн и я. Головний вектор i головний момент системи сил визначаютъся виразами =; = ().

Окремі випадки зведения:

1. якщо ≠ 0 та = 0, то система сил еквівалентна одній силі (тобто рівнодійні), яка гуометрично дорівнює головному век-­ тору i прикладена в центрі О. Напрямок рівнодійної проходить через центр О; Рис.С4

2) коли = 0 та ≠ 0, то система сил зводиться до одиіеї пари сил; 3) якщо ≠ 0 i ≠ 0, але _┴ (^. = 0), то система сил зводиться до рівнодійної, напрямок якої не проходить через центр зведення О; 4) коли ≠ 0 та

≠ 0 але вектор колінеарний до , то система сил зводиться до

силового гвинта (динами); 5) якщо = 0 i = 0 то система сил зна- ходиться в pівновазі.

У вибраній системі координат (див. рис.4) головний вектор

R=,

де

R_x = F_ix = - F₁ = -20 kH;

R_y = F_iy = F₄ – F₃ = 10 kH;

R_z = F_iz = F₂ = 30 kH;

R = = 37,5 kH

а головний момент

M_o= ,

= М( ) = 0, -c = -50 2 = -100 Нм

=М( ) = 0, -c - -а = -202 - 303 = -130 Нм

=М( ) = - а = 206 - 403 = 0

= = 10 = 164 Нм

Напрямні косинуси цих векторів визначаються виразами :

cos(^O) = = = -20 / 37,5 = -0,533;

cos(^O) = = = 10 / 37,5 = 0,263 ; cos(^O) = = = 30 / 37,5 = -0,8;

cos(^O) = = = -100/ 164 = -0,609 ;

cos(^O) = = = -130/ 164 = -0,793 ;

cos(^O) = = =0;

Головний вектор і головний момент не дорівнюють нулеві і утворюють між собою кут , що визначається виразом :

cos= = = 0.114

Система сил зводиться до динами (силового гвинта),тобто до (головного вектора) і пари сил із моментом

= cos(,) = = 18,7 Нм

Рівняння прямої дії динами (центральної гвинтової осі)мають вигляд :

==

де - біжучі координати точки , що лежить на цій гвинтовій осі.

Підставляючи відповідні величини в рівняння центральної лінії дістанемо

==

Таким чином , центральна вісь має вигляд прямої типу двох площин:

6- 3+5-36 = 0 ; 10+2+-39 = 0

Завдання с5.Визначення реакці опор твердого тіла( плита, вал )

Задача 5.1. Прямокутні плити, на які діють сили , i пара сил із моментом М,

закріплено відповідним способом, показаним на схемах (рис. )

Значення сил та моментів наведено в табл.

Внзначити реакції опор.

Приклад 1 .Прямокутна плита силою тяжіня Р (рис.1.), що завкріплена в точці А кульковим шарніром, у точці В — петлею й утримується в горизонтальному положенні стрижнем СЕ, знаходиться в рівновазі під дією снли F.

Визначити реакції в опорах, а також зусилля в стрижні, якщо

кН , = 6кН , = 1м.

Рис.1

Рис.1а

Розв’язання . До об’єкта рівноваги , яким є плита ,прикладаємо активні сили та ,а також реакції опор А , В і зусилля в стрижні. Реакція кульового шарніра А визначається трьома складовими , , , а петлі В – двома та (рис.1а)

Для довільної просторової системи сил записуємо шість рівнянь рівноваги у вибраній системі координат :

F= 0, + - = 0 ; (1)

F= 0, -+ = 0 ; (2) F= 0, + - + = 0 (3)

М( ) = 0, 2а - а -0,5 а = 0 (4)

М( ) = 0, а - 2а = 0 (5)

М( ) = - 2а + 2а - а -2 а = 0 (6)

Тут кути і введено для спрощення запису рівнянь .

=0,554 ; = 0,8.

sin= = = 0.137; cos= =

Із рівняння (5) маємо:

N = kH.

Із рівняння (4) маємо:

Z_A=

З рівняння (6) маємо:

Із рівняння (1) маємо:

X_B=Ncoscos_X_A=7.3

З рівняння (2) маємо:

Y_A=F_ Ncoscos=6_7.3

З рівняння (3) маємо:Z_B=P_Nsin- Z_A=2-7,3- 1

Приклад 2 . Горизонтальна прямокутна плита вагою Р закріплена сферичним

шарніром у крапці А ,циліндричним (підшипником) у крапці В і невагомим стержнем .На плиту в площині , паралельній , діє сила, а в площині рівнобіжної площині А- пара сил з моментом М.

Рис.2

Розв”язання.1. Розглянемо рівновагу плити .На плиту діють задані сили ,і пара з моментом М, а також реакції в’язей . Реакцію сферичного шарніра розкладаємо на три складові ,,, циліндричного (підшипника) – на дві складові

,(у площині , перпендикулярній осі підшипника ); реакцію стрижня

направляємо уздовж стержня від до , припускаючи , що він розтягнутий.