Анализ статистической значимости коэффициента детерминации.
Оценим качество регрессии на основе F-критерия Фишера.
Проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента детерминации R2:
Н0: R2 =0
Н1: R2 >0
Для проверки данной гипотезы используется F-статистика: нулевая гипотеза (Н0) отклоняется, если Fфакт>Fкр значит, R2 >0, т.е R2 статистически значим.
F= R2 (n-2) / (1- R2)
F=0.94067*(20-2)/(1-0.94067) = 285.38783
В нашем случае F = 285.38783.
Критическое значение критерия F берется из таблицы F-распределения и зависит от уровня значимости и числа степеней свободы сравниваемых дисперсий.
Отсюда получаем Fкр= 247,3232 (V1= m =1,V2= n-m-1= 18, уровень значимости=0,05), Fэмп (285.38783) > Fкрит (247,3232 ) => R2 статистически значим. Следовательно гипотеза Н0 статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется. Полученное нами уравнение регрессии статистически значимо и может использоваться для объяснения изменения переменной Y под влиянием изменения переменной X1. Другими словами, уравнение объясняет изменения выработки продукции на одного работника под влиянием изменения % ввода новых основных фондов.
Проверка уравнения регрессии на гетероскедастичность
Гетероскедастичностью называется непостоянство дисперсий отклонений, т.е. не выполняется условие, что дисперсия случайных отклонений Ei постоянна (D(Ei)=D(Ej) для любых наблюдений i и j).
Проверим полученную модель регрессии на гетероскедастичность.
На основе графика остатков можно сделать вывод об отсутствии гетероскедастичности.
Однако используем тест ранговой корреляции Спирмена, чтобы сделать более строгий вывод.
При выполнении теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения Х, и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью МНК, абсолютные величины остатков и значения Х будут коррелированны.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле:
Для расчета коэффициента составим таблицу, выполнив следующее:
1) Ранжирование значений Х1 и ei. Их ранги занесены в колонки RX1
«Ранг Х1» и R е «Ранг ei»;
2) Подсчет разности между рангами Х1 и ei колонка d (RX1 - R е);
3) Каждая разность d возведена в квадрат (колонка d2);
4) Подсчитана сумма квадратов;
5) Расчет коэффициента ранговой корреляции rxe по формуле/
6) Определение критического значения.
N |
X1 |
Rx1 |
еi |
R еi |
d (Rx1 - R еi) |
d2 |
(Ранг Х1) |
(Ранг еi) |
|||||
1 |
3,9 |
3,5 |
0,2159 |
7,5 |
-4 |
16 |
2 |
3,9 |
3,5 |
0,2159 |
7,5 |
-4 |
16 |
3 |
3,7 |
1 |
0,4618 |
13 |
-12 |
144 |
4 |
4 |
5 |
0,0929 |
3 |
2 |
4 |
5 |
3,8 |
2 |
0,3388 |
9 |
-7 |
49 |
6 |
4,8 |
7 |
0,89 |
17 |
-10 |
100 |
7 |
5,4 |
9 |
0,628 |
16 |
-7 |
49 |
8 |
4,4 |
6 |
0,601 |
15 |
-9 |
81 |
9 |
5,3 |
8 |
0,505 |
14 |
-6 |
36 |
10 |
6,8 |
12,5 |
0,35 |
10 |
2,5 |
6,25 |
11 |
6 |
10 |
0,366 |
11 |
-1 |
1 |
12 |
6,4 |
11 |
1,1417 |
19 |
-8 |
64 |
13 |
6,8 |
12,5 |
1,35 |
20 |
-7,5 |
56,25 |
14 |
7,2 |
14 |
0,158 |
4 |
10 |
100 |
15 |
8 |
15 |
0,1743 |
5 |
10 |
100 |
16 |
8,2 |
17 |
0,071 |
2 |
15 |
225 |
17 |
8,1 |
16 |
0,0513 |
1 |
15 |
225 |
18 |
8,5 |
18 |
0,44 |
12 |
6 |
36 |
19 |
9,6 |
20 |
0,2068 |
6 |
14 |
196 |
20 |
9 |
19 |
0,9446 |
18 |
1 |
1 |
Суммы |
|
210 |
|
210 |
0 |
1505,5 |
rxe = 1-((6*1505,5)/(20(202-1))
Результат: rxe = -0.132
Критические значения для N = 20
N |
p = 0,05 |
20 |
0,45 |
В данном случае -0,132 < 0,45, следовательно, принимаем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности Н0 принимается, т.к. корреляция между Х1 и e не достигает уровня статистической значимости.