8.2. Примеры с решениями

Пример 1.    Различные формы записи дифференциальных уравнений первого порядка.

xdy + (y - cosx)dx = 0

y' + 2y = e^x 

Те же уравнения, записанные в нормальной форме.

y' = e^x - 2y 

Пример 2. Проверка правильности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Покажем, что   решение уравнения  xdy + (y - cosx)dx = 0. Для этого вычислим dy и подставим его в уравнение:

Пример 3. Интегральные кривые и графики решений дифференциальных уравнений.

На рисунках изображена интегральная кривая — график решения дифференциального уравнения xdy + (y - cosx)dx, проходящего через точку с координатами (p/2, 2/p), построенная в Mathcad и в ОДУ.

9. Ряды

9.1. Теоретическая справка

Числовые ряды Частная (частичная) сумма ряда: Сумма ряда: (если предел существует). Ряд сходится, если S конечно; тогда Необходимое условие сходимости ряда: Гармонический ряд расходится; его частная сумма Обобщенный гармонический ряд сходится при a > 1 расходится при a< или = 1 Признаки сходимости для положительных рядов Признак сравнения Если 0 < a_k < b_k V k,то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда - расходимость ряда .

Предельный признак сравнения Если то при l > 0 ряды и или оба сходятся, или оба расходятся. Признак Д'Аламбера Если то при 0 ≤ q < 1 ряд сходится, при q > 0 расходится. Интегральный признак Если f убывает на (1; +∞ ) и неотрицательна, то ряд сходится или расходится вместе с интегралом

9.2. Примеры с решениями

Пример 1 Записать первые три члена ряда Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда: Затем , тогда: Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Пример 2 Записать первые три члена ряда На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом  и . В итоге: Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: ,  , . Ответ в виде  гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

IV. Заключение

В заключении подведем основные итоги реферата. Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки. Математику можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она является всеобщей научной дисциплиной. Функции математики в равной мере являются функциями гуманитарными, поскольку направлены на совершенствование материальной и духовной сфер человеческого бытия. При изучении математики осуществляется развитие интеллекта, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Учитывая внутреннее логическое единство математики, органическую взаимосвязь ее частей, важнейшим требованием к организации ее преподавания должны стать последовательность и преемственность в обучении, видение на всех его этапах основной цели. Таким образом, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса гуманитарных задач и имеет большое значение в жизни общества. Нет сомнений, что математика и математический стиль мышления совершают сейчас триумфальный марш как в науке, так и в ее применениях. Учащиеся, студенты должны в какой-то мере почувствовать это и относиться к математике с большим интересом, увлечением и пониманием необходимости математических знаний, как для будущей их деятельности, так и для жизни человеческого общества