2. Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:

при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x)  0 при x [a;b], то

7) Если на отрезке [a;b] f (x)  g (x), то

8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство. Так как функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “m” и наибольшего “M” значений. Тогда m  f(x)  M для любого x[a;b]. По свойству 7 определённого интеграла можно записать неравенство:

Так как m и M – постоянные числа, то

()

Вычислим по определению определённого интеграла

Тогда неравенство () можно переписать в виде:

.

Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все значения, заключённые между наименьшим “m” и наибольшим “M” значениями. Значит найдётся на отрезке [a;b] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

.

Теорема доказана.

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

Определение 4. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на отрезке [a;x] для любого x[a;b]. Следовательно, на отрезке [a;b] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда функция обладает свойствами:

1) непрерывна на отрезке [a;b];

2) имеет производную F'(x) в каждой точке x[a;b], удовлетворяющую равенству .

Доказательство. Вычислим приращение функции F(x), причём Dx возьмём таким, чтобы точка x + Dx  [a;b].

Тогда

.

Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определённого интеграла, т.е. на отрезке [x; x + Dx] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

Значит, F = f (c) Dx, где c  [x; x + Dx].

Если Dx  0, то c  x (так как x < c < x + Dx).

Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c)  f (x) при Dx0.

Таким образом, DF0 при Dx0, что доказывает непрерывность F(x).

Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx  0, получим:

,

т.е. существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx  0, что означает существование производной F' (x) = f (x).

Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что функция является первообразной для функции f (x).

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и (x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция также является на отрезке [a;b] первообразной для f(x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

для любого x [a;b] ()

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого интеграла (§3, п.2, с. 93) , рассмотрим равенство () при x = a:

Следовательно, равенство () можно переписать в виде:

для x [a;b]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

,

где используется обозначение:

.

Задача вычисления определённого интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 2. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .