МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Российский химико-технологический университет

им. Д. И. Менделеева

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

Москва

2012

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

Д50

Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)

С. А. Изотова

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной

Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,

М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,

М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,

2012. – 108 с.

ISBN 978-5-7237-0993-5

Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.

Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2012

Оглавление

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 7

§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 7

1. Определение функции одной переменной 7

2. Способы задания функции 7

3. Сложная и обратная функции 8

4. Элементарные функции 8

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 10

1. Предел функции в конечной точке x_{0 10}

2. Односторонние пределы 11

3. Предел функции на бесконечности 12

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 12

5. Основные теоремы о конечных пределах 14

6. Первый замечательный предел 16

7. Второй замечательный предел 18

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 18

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке 18

2. Точки разрыва функции и их классификация 20

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 21

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл 21

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций 24

3. Таблица производных основных элементарных функций 25

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции 26

5. Правила дифференцирования 27

6. Дифференцирование функции, заданной неявно 30

7. Производные показательной и степенной функций 30

8. Производные обратных тригонометрических функций 32

9. Дифференциал функции 33

10. Производные и дифференциалы высших порядков 36

1. Теорема Ролля 37

2. Теорема Лагранжа 38

3. Теорема Коши 40

4. Правило Лопиталя 40

§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 42

1. Асимптоты плоской кривой 42

2. Монотонность функции 45

3. Экстремумы функции 46

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции 48

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 51

6. Схема исследования функции. Построение графика 51

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 55

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 55

1. Первообразная функция и её свойства 55

2. Понятие неопределённого интеграла 57

3. Свойства неопределённого интеграла 57

4. Таблица основных неопределённых интегралов 58

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 59

1. Непосредственное интегрирование 59

2. Интегрирование подстановкой 61

3. Интегрирование по частям 63

4. Интегрирование рациональных дробей 67

5. Интегрирование тригонометрических выражений 72

6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений 76

§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 79

1. Задача, приводящая к определённому интегралу 79

2. Свойства определённого интеграла 82

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница 84

4. Методы интегрирования определённого интеграла 87

Замена переменной в определённом интеграле 87

5. Приложения определённого интеграла 91

§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 93

1. Интегралы с бесконечными пределами 94

2. Интегралы от разрывных функций 95