2. Частные производные первого порядка фмп.

Пусть дана функция двух переменных . Будем предполагать, что для каждой рассматриваемой точки функция определена и в некоторой окрестности этой точки. Рассмотрим частные приращения функции

,

по и соответственно.

Определение 1. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении этого приращения к нулю.

Частные производные функции по переменным х и у обозначаются соответственно , либо , . Следовательно, по определению

,

.

Заметим, что при вычислении аргумент y считается постоянным, а при вычислении постоянным считается х.

Пример 1. ; , -?

; .

Значит, отыскание частных производных не требует никаких новых правил дифференцирования.

Выясним геометрический смысл частных производных функции . Изобразим поверхность, являющуюся графиком этой функции, на рис. 15.

Построим плоскость . Она пересекается с поверхностью по кривой L. Пусть AB – касательная к кривой L в точке A(x,y,z), – угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси OY.

Т ак как , то на основании геометрического смысла обычной производной имеем

.

Аналогично определяется геометрический смысл частной производной .

3. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию . Зафиксировав значение одной независимой переменной, будем рассматривать функцию z как функцию одной переменной и, следовательно, можно говорить о производной и дифференциале функции одной переменной. Эта производная, как уже известно, называется частной производной; соответствующий дифференциал называется частным дифференциалом. Частный дифференциал обозначается символом d со значком, указывающим, по какой переменной происходит дифференцирование. Таким образом,

, .

Если , то , ,

если же , то , .

Следовательно, частные дифференциалы можно записать в виде

, .

Сумма всех частных дифференциалов функции называется полным дифференциалом этой функции:

Связь полного дифференциала с полным приращением функции подобна той, которая существует для функции одной переменной.

Пусть независимые переменные получили приращения , , тогда полное приращение функции

Выражения, стоящие в скобках, являются частными приращениями и, следовательно, связаны с частными дифференциалами следующим образом:

,

,

где , при , .

Подставляя эти выражения в полное приращение , получаем

,

где при .

Таким образом, и здесь полный дифференциал есть главная линейная часть приращения функции. Главная часть, потому что он отличается от приращения на величину более высокого порядка малости по сравнению с приращениями аргументов, а линейная – потому, что он является суммой слагаемых, пропорциональных приращениям аргументов. Так же, как и дифференциал функции одной переменной, дифференциал функции нескольких переменных применяют в приближенных вычислениях, заменяя приращение функции ее полным дифференциалом.

Пример 1. ; dz - ?

.

Пример 2. На сколько изменится диагональ прямоугольника со сторонами х=6м, у=8м, если сторона х увеличится на 5 см, а сторона у уменьшится на 10 см?

Обозначим диагональ прямоугольника через z,

.

.

Полагая в этой формуле х=6, у=8, , , получаем

м.

Следовательно, диагональ прямоугольника уменьшится приблизительно на 5 см.