Задача 6

1. Треугольник АВС – равнобедренный, - высота, - единичный вектор в направлении АС. Найти скалярные произведения .

2. Длины векторов равны соответственно 8 и 9, а угол между ними . Найти скалярные квадраты векторов и их скалярное произведение.

3. Найти длину вектора , зная, что - взаимно перпендикулярные орты.

4. Упростить выражение , если , , где .

5. Векторы образуют угол . Зная, что , , вычислить .

6. Векторы образуют угол . Зная, что , вычислить

.

7. Дан равносторонний треугольник АВС, длина сторон которого равна единице. Вычислить выражение .

8. В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС катет равен 5 см. Найти скалярное произведение .

9. Даны точки . Вычислить

.

10. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , найти .

11. Вычислить значение выражения , если

.

12. Векторы взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , вычислить .

13.Векторы , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен . Зная, что , определитель модуля вектора .

14. Найти модуль вектора - единичные векторы, угол между которыми равен .

15. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , найти .

16. Даны векторы , удовлетворяющие условию . Зная, что

вычислить .

17. В равнобедренном треугольнике АВС - высота. Найти скалярное произведение .

18. Векторы образуют угол . Зная, что вычислить .

19. Треугольник АВС – равносторонний, со стороной, равной шести. BD - высота. Найти скалярные произведения .

20. Векторы образуют угол . Зная, что , найти длину вектора .

21. Даны: . Вычислить .

22. Даны три вектора: . Найти: .

23. -правильный шестиугольник со стороной, равной четырем. Найти .

24. В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС проведены медианы AN и BM из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.

25. Даны три вектора: . Найти .

26. Даны точки А(2, 2) и В(5, -2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы

.

27. Вычислить , если и .

28. Известно, что , где - взаимно перпендикулярные орты. Определить углы треугольника АВС.

29. Найти угол, образованный единичными векторами , если известно, что векторы перпендикулярны.

30. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.

Задача 7

1. Даны вершины треугольника . Вычислить высоту, опущенную из вершины В на сторону АС.

2. Даны точки . Вычислить площадь треугольника АВС.

3. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы , где - единичные векторы, образующие угол .

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, где - взаимно перпендикулярные орты.

5. Построить векторы . Вычислить модули вектора и площадь треугольника, построенного на векторах .

6. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах .

7. Построить треугольник с вершинами . Вычислить его площадь и высоту BD.

8. Даны . Вычислить .

9. Сила приложена к точке . Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки .

10. Вычислить площадь треугольника с вершинами

.

11. Векторы образуют угол . Зная, что , вычислить

а) ; б) .

12. Векторы взаимно перпендикулярны. Зная, что вычислить:

а) ; б) .