2.5 Записать формулу Тейлора, пояснить ее геометрический смысл

Смысл в том, что мы ищем максимально близкую к данной функцию.

 Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

2.6 В чем состоит правило Лопиталя

Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида             0 / 0   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1. Существует f '(x) и g '(x) в окрестности точки хо

2.                                   

                           

3. Существует 

   Правило Лопиталя.

2.7 Пояснить, что такое min, max, inf, sup

min, max - максимальное или минимальное значение функции.

inf- единственная точка минимума на отрезке

sup - единственная точка максимума на отрезке

2.8 Сформулировать, когда возможен экстремум функции.

Для непрерывной функции экстремум может иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю ,или не существует (в частности, обращается в бесконечность).

Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо       f '(xо) не существует. Такие точки называюткритическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

2.9 Что такое точка перегиба функции и как ее найти.

Точка перегиба функции - точка n(x₀;y₀), отделяющая выпуклую часть функции от вогнутой.

Точка перегиба - точка в которой меняется знак второй производной функции (производная второго порядка).

 Чтобы найти точку перегиба нужно:

1. Найти вторую производную функции.

2. Решить уравнение   

3. Найти промежутки на которых   

4. Выбрать точки в которых меняется знак второй производной.

2.10 Пояснить на графике, что такое асимптота

Прямая линия называется асимптотой, если расстояние точки графика от асимптоты стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат (определение Осетрова)

 

На слова не смотрите, красное- график, черное - асимптота.

Часть 3.

3.1 Дать определение первообразной функции.

Функцию, производная которой равна данной функции, называют первообразной для неё.  (Нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной.)

Объяснение на примерах:

cos x - производная sin x  sin x -первообразная cos x.

 -производная ln |x|        ln |x| - первообразная  

3.2 Неопределённый интеграл и его компоненты.

Семейство первообразных для f(x) на (а,в) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом :

Знак    называется интегралом,   - подынтегральной функцией

Если   -одна из первообразных для f(x),то согласно сказанному:

,

Где С- произвольная постоянная.

Неопределенный интеграл называется берущимся, если его можно выразить через конечное число элементарных функций и неберущимся в противном случае.

3.3 Пояснить в чём выражается линейность неопределенного интеграла,и как это может помочь при вычислении интегралов.

Линейность - это то, что любую функцию можно представить в виде линейной комбинации других функций.

Линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части.

    и   

 

Cоответсвенно вытекает еще одно свойство как комбинация этих двух:

3.4 Таблица интегралов

3.5  Порядок вычисления методом замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

3.6  Объяснить, как можно взять интеграл методом подведения под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве   

 То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду

Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных основных элементарных функций.

Пример:

Вычислить интеграл тангенса: 

Решение:

Так как    ,то можно подвести под знак дифференциала  .Из таблицы первообразных видим   , где 

Ответ:       

3.7 Формула интегрирования по частям

Для неопределённого интеграла:

3.8 Ответить,всегда ли можно взять интеграл от целой, дробно-рациональной, рациональной, иррациональной,

трансцендентной функций.

• Интеграл от целой функции всегда берётся.

• Интеграл от дробно-иррациональной функции всегда берётся.

• Интеграл от рациональной функции всегда берется.

• Интеграл от иррациональной функции не всегда.

• Интеграл от транцедентной функции не всегда .Например  e(x²) .

Элементарная функция, не являющаяся алгебраической называется трансцентной.

Другие интегралы удается взять лишь сделав замену переменной, чтобы функция по отношению к новой переменной стала рациональной.

Интеграл от правильной рациональной дроби, сведется к интегрированию простейших дробей.