Часть 2.
2.1 Дать определение производной.
1) Производная - отношение приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
2) Пусть y=f(x) определена в окрестности точки хо. Производной функции y=f(x) в точке хо-называется предел отношения приращения функции Δy в приращению аргумента Δх. При условии,что приращение аргумента стремится к нулю.(Определение Осетрова)
2.2 Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абцисса хо и вычисляется соответствующая ордината f(xо). В окрестности точки хо выбирается произвольная точка х. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая ( первая светло-серая линия С5). Расстояние Δх=х-хо устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии с5-с1).
Тангенс угла а наклона этой касательной-и есть производная в точке хо.
Производная y’(xо) в точке хо равна угловому коэффициенту касательной,производной и графику функции, к точке с абциссой хо.
Касательной к кривой линии в данной точке-называется прямая,занимающая предельное отношение любой секущей,проведённой в данной точке.
Нормалью к кривой в данной точке-называется прямая,прходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной в данной точке.
2.3 Дать определение дифференциала, пояснить на графике понятия приращения и дифференциала.
Функция f(x), имеющая производную точку-называется дифференцируемой в этой точкой.
Операция нахождения производной-называется дифференцированием функции.
Дифференциал-это линейная часть приращения функции.
Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно Δx часть приращения Δy, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f'(x) Δx.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = Δx. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f ‘ (x)dx.
Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол φ с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg φ. Из прямоугольного треугольника MKN
KN = MNtgf = Δ xtg φ = f'(x)Δx, то есть dy = KN.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Δx.
2.4 Сформулировать теорему Лангранжа, пояснить геом. Смысл
Теорема
Лангранжа-
если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a; b] и дифференцируема на интервале (a;
b), то существует хотя бы одна точка 
такая, что 
Геометрический
смысл теоремы
Лагранжа заключается в том, что при
выполнении условий теоремы внутри
отрезка 
найдется
точка , в которой касательная, проведенная
к графику функции 
,
параллельна хорде AB. Таких точек может
быть и несколько, но одна существует
точно.
Следствие:
