Практическая часть

Вариант № 13

Исходные данные:

набор наблюдений

-11,963	-19,197	-8,653	1,416	-16,534	0,409	-2,982	-12,845
-19,371	-16,969	-9,076	-2,590	0,527	-20,332	-5,936	-12,820
-7,841	-6,679	-20,562	-16,534	0,525	-21,010	-7,953	-10,732
-1,374	-12,326	-19,110	-16,415	-16,538	-1,626	-9,033	-6,583
0,031	-9,910	-4,721	-2,234	-2,665	-10,179	-9,175	-0,370
-3,627	0,568	-1,1395	-21,990	-5,854	1,330	-8,380	-16,095
-12,347	-4,892	-9,130	-3,684	-2,105	-15,098	-6,647	-5,758

1.Найдем оценку математического ожидания и выборочную дисперсию.

M[X]= X= 1/n · ΣX_k = 1/56 · [-11,963+(-19,371) +…+ (-5,758)]= -8,661

D[X]= S²= 1/n · Σ(X_k – X) ²= 1/56 · [(-11,963 – (-8,661)) ² + (-19,371 – (-8,661))² +…+

+ (-5,758 – (-8,661)) ² = 46,075

M[X]= -8,661

D[X]= 46,075

2. Построение графика выборочной функции распределения и гистограммы.

1). Построим вариационный ряд выборки

-21,990	-16,969	-12,845	-9,910	-7,953	-5,758	-2,590	0,031
-21,010	-16,538	-12,820	-9,175	-7,841	-4,892	-2,234	0,409
-20,562	-16,534	-12,347	-9,130	-6,679	-4,721	-2,105	0,525
-20,332	-16,534	-12,326	-9,076	-6,647	-3,684	-1,626	0,527
-19,371	-16,415	-11,963	-9,033	-6,582	-3,627	-1,395	0,568
-19,197	-16,095	-10,732	-8,653	-5,936	-2,982	-1,374	1,330
-19,110	-15,098	-10,179	-8,380	-5,854	-2,665	-0,370	1,416

2). Вычислим выборочные функции распределения

F(x) = m_x/n,

m_x – количество наблюдений меньших или равных числа x

F(-21,99)=1/56=0,02

F(-21,01)=2/50=0,04

……………………….

F(1,33)=49/50=0,98

F(1,416)=50/50=1

3.Построение гистограммы.

1).m – номер интервала , m=1,…,k

k – число интервалов

n_m – число наблюдений попавших в каждый интервал

P_m* = n_m /n – частота

|∆_m| - длина каждого интервала

h_m = P_m*/|∆_m| - высота столбца

2). Группировка выборки

K=8

|∆₁|=|∆₂|=…=|∆_k|=2,926

Статистический ряд (∆_m; n_m), m=1,…,k

([-21,99; -19,065]; 7), m= 1

((-19,065; -16,139]; 5), m= 2

((-16,139; -13,213]; 2), m= 3

((-13,213; -10,287]; 6), m= 4

((-10,287; -7,361]; 10), m= 5

((-7,361; -4,436]; 8), m= 6

((-4,436; -1,51]; 8), m= 7

((-1,51; 1,416];10), m= 8

3).Найдем частоты для каждого интервала

P₁*= 0,125

P₂*= 0,09

P₃*= 0,036

P₄*= 0,107

P₅*= 0,179

P₆*= 0,143

P₇*= 0,143

P₈*= 0,179

4).Найдем высоты столбцов гистограммы

h₁= 0,043

h₂= 0,03

h₃= 0,012

h₄= 0,037

h₅= 0,061

h₆= 0,049

h₇= 0,049

h₈= 0,061

5). H₀ : имеющаяся выборка соответствует закону распределения R[a; b].

4. 1). Находим

a= -21,99

b= 1,416

2). Найдем вероятности попадания СВ в интервалы

P(XЄ∆₁)= P(XЄ∆₂)= ...= P(XЄ∆_k)= 0,125

P(XЄ∆₀)= (X Є (-_∞; -21,99))= 0

P(XЄ∆_k+1)= (X Є (1,416; +_∞))= 0

3). Статистика критерия Пирсона

g_n=(nΣ(P_m- P_m*)²/ P_m) + n(P₀ + P_k+1)

g₅₆= 7,143

5. Принятие решения

χ_α²(r) – квантиль распределение хи-квадрат уровня α с числом степеней свободы r.

r = k+ n₁– n₂– 1

k – количество интервалов

n₁ – число дополнительных интервалов

n₂ – число неизвестных параметров закона распределения, для которых были сделаны оценки

r = 5

χ_0,95²(5)= 11,07 (по таблице)

Доверительная область [0; 11,07]

7,143 Є [0; 11,07] – гипотеза H₀ принимается с вероятностью 0,95

χ_0,9²(5)= 9,24 (по таблице)

Доверительная область [0; 9,24]

7,143 Є [0; 9,24] – гипотеза H₀ принимается с вероятностью 0,9

6. Найдем интервал, в который СВ X попадает с вероятностью 0,99

P(∆₁≤ X ≤ ∆₂)= 0,99

∆₁ и ∆₂ Є [-21,99; 1,416]

(∆₁- (-21,99))/(1,416-(-21,99)) – (∆₂- (-21,99))/(1,416-(-21,99))=0,99

∆₁- ∆₂=23,172

если ∆₁= -21,99, тогда ∆₂= 1,182

СВ Х попадает в [-21,99; 1,182] с вероятностью 0,99