4.Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных оценок: несмещенность и состоятельность.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений (θ)

Точечной (выборкой) оценкой неизвестного параметра распределения

θ Є Θ называется произвольная статистика Θ(Z_n), построенная по выборке Z_n и принимающая значение в множестве Θ.

Свойства:

1) Оценка θ(Z_n) параметра θ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к θ, т.е. θ(Z_n) → θ при n → ∞ для любого θ Є Θ.

2) Оценка θ(Z_n) параметра θ называется несмещенной, если ее МО равно θ, т.е. M[θ(Z_n)] = θ для любого θ Є Θ.

5.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра θ Є Θ называется статистика θ(z_n), максимизирующая для каждой реализации Z_n

функцию правдоподобия, т.е.

θ(z_n) = arg max L(z_n, θ)

Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия.

Пусть v_i, i=1,s, - выборочные начальные моменты. Рассмотрим систему уравнений

v_i (θ)= v_i, i=1,s

и предположим, что ее можно решить относительно параметров θ₁,…, θ_s, т.е. найти функции θ_i=φ_i(v₁,…, v_s), i=1,s

Решением полученной системы уравнений θ_i=φ_i(v₁,…, v_s), i=1,s, называется оценкой параметра θ, найденной по методу моментов, или ММ-оценкой.

6. Выборочные моменты

Пусть имеется выборка Z_n=col(x₁,.., x_n) которая порождена СВ Х с функцией распределения F_x(x).

Для выборки Z_n объема n выборочными начальными и центральными моментами порядка r СВ Х называются следующие СВ:

v_r(n) = 1/n∑(x_k)^r, r =1,2,….;

μ _r(n) = 1/n∑(x_k- v_r(n))^r, r =2,3,….;

Выборочным средним и выборочной дисперсией СВ Х называются соответственно:

m_X(n)= v₁(n) = 1/n∑x_k

d_X(n)= μ ₂(n) = 1/n∑(x_k- m_X(n))²

7.Проверка гипотезы о законе распределения выборки по критерию согласия к. Пирсона (χ2 - хи-квадрат)

СВ Х имеет распределение χ² с r степенями свободы. Если ее можно представить в следующем виде Х = ∑Х_i² , где Х_i~ N(0; 1)

Х= χ²(r)

Плотность вероятности этой СВ имеет следующий график:

Критическая и доверительная область

Х= χ²(r)

Критической областью значений СВ Х называется промежуток на вещественной оси, в которой СВ Х попадает с некоторой малой вероятностью α.

Это число α называется уровнем значимости критической области.

S – критическая область

P(XЄS) = α<<1

S=R’- S – доверительная область

P(XЄS) = 1-α – близка к 1

Для задания критической области S распределения Пирсона поступают следующим образом:

P(X ≥ χ_кр²(r)) = α

S = [χ_кр²(r); +∞)

P(XЄS) = α – по построению

S = [0, χ_кр²(r)) – доверительная область

Замечание: число χ²(r) находится по таблице распределения χ². Это число зависит от степеней свободы r и от уровней значимости α.

Стандартный α=0,05

Алгоритм критерия Пирсона

1) Формулировка гипотезы

Н₀: имеющаяся выборка соответствует закону распределения F(x)

2) Производится группировка выборки и вычисление частот {P_m*}, m=1÷k

3) Для каждого подынтервала Δ_m вычисляется вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой гипотезы

Δ_m=[z_m; z_m+1]

P_m= F(z_m+1) – F(z_m); m=1÷k

4. Вычисляется статистика критерия Пирсона

g_n=(n∑(P_m+ P_m*)²/ P_m)+n(P₀+ P_m+1),

где P₀+ P_m+1=1-∑ P_m, n-объем выборки

Теорема. Если проверяемая гипотеза Н₀- верна, то СВ g_n – называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение

g_n ~ χ²(r)

r=k+n₁- n₂-1

k – число интервалов

n₁ – число дополнительных интервалов

n₂ – число неизвестных параметров распределения F(x), которые были заменены их оценкой.

4. Принятие решения.

Строится критическая область S

S = [χ_кр²(r); +∞)

Если g_n Є S, то гипотеза отвергается

Если g_n Є S, то гипотеза принимается, как не противоречащая данным