Элементы математической статистики

М атематическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.

В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ века поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики.

В сороковые годы ХХ в. румынский математик А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время.

 Понятие случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате которых случайным образом получается некоторое число, например, при бросании игральной кости выпадает число от 1 до 6 и т.п. В таких испытаниях мы сталкиваемся со случайными величинами.

Определение.

Случайной величиной называется числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации некоторого испытания.

Пример1.

количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика;
число попадания в мишень при некотором количестве выстрелов;
рост случайно взятого человека и т.п.

Рисунок 1. Виды случайных величин

Случайную величину можно задать:

в виде таблицы (в которой указывается значение появления случайной величины и вероятности их появления), т.е. в виде ряда распределения случайной величины (см. Таблица 1);
графически, где в прямоугольной системе координат по оси Ох откладываются значения случайной величины, а по оси Оу – соответствующие им вероятности. Полученные точки соединяются отрезками. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (см. Рисунок 2).

Определение.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется перечень всех ее возможных значений , , , …, и соответствующих им вероятностей , , , …, , где

Таблица 1. Пример ряда распределения случайной величины

		...
		…

Рисунок 2. Многоугольник распределения случайной величины

Пример2.

В ящике 4 белых и 8 черных шаров. Вынимаем три шара (без возвращения их в ящик). Случайной величиной Х является число появление белых шаров в выборке. Необходимо составить ряд распределения данной случайной величины и построить многоугольник распределения.

Решение.

Среди выбранных шаров может не оказаться белых шаров, т.е. , один белый шар, т.е. , два белых шара, т.е. , или все три шара будут белыми, т.е. . Найдем вероятности появления соответственных белых шаров.