3.2. Модель односторонних боевых действий смешанной группировки

Рассмотрим усложненную постановку приведенной в разделе 3.1 задачи, Предположим, что в выполнении боевой задачи участвует сме­шанная (в смысле АК и его вооружения) группировка.

Введем вектор управления U(t)=(U1(t)…,Ui(t)…,UI(t))=U(t), U(t) , i-я компонента которого означает долю АК с боекомплектом i-гo типа (или i-й тип АК), используемых в момент t в составе группировки N (t) и обладающих вектором характеристик Фi из (3.1), так что 0≤Ui≤1.0; .

Тогда уравнение (3.3) будут

а критерий (3.15)

Для удобства введем относительные переменные:

И вместо (3.20) запишем

Тогда можно сформулировать следующую задачу: найти оптимальные управления Ui(t), которые обеспечивают минимум (3.21) при связях (3.23)и ограничениях

0≤Ui≤1.0;

X1(T)≥ .

Для решения этой задачи воспользуемся принципом максимума Понтрягина,. для чего составам гамильтониан (λс= 1,0)

Поскольку управления Ui( t ) входят в (3.26) линейно, то оптимальные управления будут

где σi(t)=N₀λ₁ωi-Ci-λ₂qi.

Можно показать , что

Очевидно, выражение (3.29) не позволяет решать задачу аналитически, но дает возможность построить итеративную процедуру формирования огибающей и точек переключения, означающих смену боекомплекта.

Из (3.29) следуют два вывода:

1. Поскольку σi(t) на оптимальной траектории должно быть положительным, а знак σi(t) определяется знаком оптимальной траектории заведомо не должны использоваться АК (или их вооружение), стоимость поражения цели которыми больше, чем существующими АК.

2. Вооружение (3.29) является локальной функцией качества для оптимизации (оптимального синтеза) на П уровне иерархии, и, поскольку σi( t) есть функция времени t , для нижестоящего уровня задача становится векторной. Это обстоятельство весьма усложняет задачу.

Анализ (3.29) показывает, что изменение σ_i(t) связано с различным отношением оперирующей стороны к собственным потерям q. Если в начале операции (t мало) σi( t) весьма чувствительно к q, то в конце ее ( Т -t мало) влияние q практически исчезает и σ(t) есть функция только ω. Практика показывает, что в образовании огибающей на оптимальной траектории участвуют 2-3 средства (боекомплекта), которые можно определить по значениям в крайних точках траектории:

Критерии в этих точках назовем критерием первого вылета (удара) и критерием последнего вылета (удара), которые затем используют­ся при синтезе систем вооружения.

Здесь целесообразно отметить, что существует множество вариантов набора (W, φ , С ∆t), каждый из которых может обеспечивать заданное значение σ(t), что соответствует возможности взаимозамещения факторов при синтезе технических систем. Это свойство неоднозначности отображения показателя эффективности в пространство характеристик позволяет наиболее полно удовлетворить системе ограничений.

Усложним далее постановку задачи и рассмотрим еще одну модель боевых действий. Примем, что для выполнения боевой задачи в операции необходимо поразить в среднем заданное количество объектов (объем боевых задач S) известных типов в течение некоторого времени, не превышающего Т, причем в пределах этого времени необходимо обеспечить выполнение боевой задачи S_∆Tl в подинтервале ∆T_l таком, что (интервал ∆T_l зависит от масштаба операции, и в моделях боевых действий авиации обычно принимается ∆T_l = I сут).

В общем случае на каждом подинтервале ∆T_l боевые задачи по физическому содержанию могут отличаться. В пределах же ∆T_l будем считать, что боевые задачи и состояние целей не изменяются, т.е. решения в смысле критерия и целей не корректируются. В процессе боевых действий между вылетами АК подвергаются ударам на аэродромах базирования, подвергаются также ударам запасы средств поражения данного дня.

Кроме того, будем считать, что группировка АК является смешанной и состоящей из ударных АК, самолетов-поставщиков помех, истребителей и др.

Пусть, как и ранее, глобальным критерием эффективности операции является стоимость группировки АК C_ , в которой используется k типов АК.

Если для выполнения боевой задачи S_∆T1 требуется боевой наряд авиационного комплекса k-го типа и в течение ∆T_l. группировка несет потери k-х комплексов, то суммарная потребная группировка АК k-го типа при условии, что потери группировки в ходе операции не восполняются, определяется ее, величиной в начале конфликта

a суммарные затраты на всю группировку составляют

где - стоимость АК k-го типа; - стоимость боекомплекта для АК k-го типа; - потребный запас вооружения дня t с учетом гибели его в местах базирования (складирования).

Как и ранее, потери состоят из потерь на маршруте полета при выполнении боевой задачи данного дня и потерь на аэродро­мах базирования :

В свою очередь значения потерь для АК к-го типа на маршруте полета и на аэродромах базирования в общем случае определяются из следующих уравнений;

где потери группы в j-м вылете при поражении цели i-го типа, расположенной на удалении Х от линии боевого соприкосновения (ЛБС) ; – относительная плотность поражаемых целей i-го типа в зависимости от их расположения за ЛБС (боевая задача S∆Tl); - соответственно начальная и конечная дальность расположения поражаемых целей в j-м вылете для АК к-го типа; J - общее число типов целей; - функция потерь на аэродромах в зависи­мости от глубины их расположения Хa; - степень рассредоточения -определяется в соответствии с (3.6) ; - величина парка АК к-го типа; - удаление передовых аэродромов базирования от ЛБС; - глубина базирования парка АК к-го типа.

Из (3.31)-(3.35) следует, что боевая задача не может решаться "разложением" ее по дням операции, она должна решаться как многошаговая динамическая задача во времени Т. Основная трудность здесь по-прежнему состоит в выборе тактики в течение дня (и далее в одном вылете) с определением рационального соотношения N_δl↔∆N_l , что предполагает определение локального критерия эффективности одного вылета. Здесь, как и в (3.1), можно считать, что задачей целераспределения в каждом вылете при поражении целей i -го типа является максимизация отношения

где - эффективность поражения цели i -го типа; - относительные потери группы из самолетов; - потребное число пораженных целей i -го типа в операции, длительность которой

В соответствии с (3.30) выражение (3.36) сводится к двум критериям:

• критерию первого удара (при τ_к≈∞)

-критерию последнего удара (при τ_к→∞)

Задача в постановке (З.З6)-(З.ЗЗ) является достаточно общей и гибкой и позволяет учесть возможности использования смешанных групп самолетов в одном вылете. Так, если ударные самолеты сопровождаются самолетами обеспечения (например, постановщиками помех и истребителями), то в (3.38) должно быть записано для некоторого фиктивного "осредненного" самолета (индекс t для простоты опустим): (3.39)

где - соответственно стоимость ударного самолета, постановщика помех и истребителя; -стоимость расходуемого в вылете боекомплекта m-го типа самолета; - стоимость самолета вылета m-го типа самолета; - число ударных самолетов, постановщиков помех и истребителей в группе из N₀ самолетов:

(3.40)

Так как является монотонно возрастающей функцией от , то выражение (3.38) можно переписать в относительных единицах:

(3.41)

где

(3.42)

Выражение (3.41) с учетом (3.42) позволяет оптимизировать состав группы в вылете, т.е. выбирать α_m , добиваясь максимизации (3.38).