2. Определение наращенной суммы с помощью сложных процентов.

Расчеты с использованием сложного процента предполагают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к этой сумме присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Первоначальная сумма вклада называется также текущей стоимостью.

Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам еще называют капитализацией.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам осуществляется с помощью формулы:

n

FV = PV * (1 +i) , (1.1)

где:

- FV – наращенная (будущая) сумма;

- PV - первоначальная (текущая) сумма, на которую начисляется процент;

- i - ставка сложных процентов в виде десятичной дроби:

- п - число лет, в течение которых начисляются проценты.

Пример №1. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей под 10% годовых. Начисление процентов осуществляется один раз в году. Определить величину наращенной суммы через четыре года.

Решение:

п 4

FV = PV * (1 +i) = 30000 * (1 + 0, 1) = 30000*1, 4641 = 43923 р.

В соответствии с договоренностью клиента и банка начисление процентов может осуществляться гораздо чаще, чем один раз в год, - по полугодиям, кварталам, помесячно, подекадно и даже ежедневно. В этих случаях для определения наращенной суммы можно использовать формулу наращения (1.1), где величина п будет означать общее число периодов начисления процентов, а ставка i - процентную ставку но уже за соответствующий период (полугодие, квартал, месяц и т. д).

В большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая, называемая также номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления в году. В этом случае для расчета наращенной суммы может использоваться формула:

n * m

FV = PV * (1 + j / m) , (1.2)

где:

- J – номинальная процентная ставка;

- m – число периодов начисления процентов в году;

- n - число лет.

Пример №2. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей на три года при номинальной ставке 10% годовых. Начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину наращенной суммы.

Решение:

n * m 3 * 4

FV = PV * (1 + j / m) = 30000 * (1 + 0, 1 / 4) = 30000 * 1, 3449 = 40347 р.

При решении такого рода задач может возникнуть вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и в случае при m-разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j / m.

В связи с этим кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки iэ, которая определяется по формуле:

m

iэ = (1 + j / m) - 1 , (1.3)

где:

iэ - эффективная ставка сложных процентов.

Пример №3. Клиент обратился в банк по поводу размещения собственных свободных ресурсов, после чего ему стало известно, что банк при использовании номинальной ставки 10% осуществляет ежеквартальное начисление процентов. Какова эффективная ставка сложных процентов при условии получении такой же наращенной суммы, как и при использовании номинальной ставки j = 10%?

Решение:

m 4

iэ = (1 + j / m) - 1 = (1 + 0,1 / 4) - 1 = 1.1038 – 1 = 0,1038 (10,38%)

Процесс капитализации инвестированных средств - мощное средство сохранения и увеличения реальной стоимости факторов производства. Для иллюстрации данного утверждения можно воспользоваться мнемоническим правилом величины 70 (в некоторых изданиях финансово-экономической направленности отмечается как «Правило 72 – х»), которое позволяет приблизительно определить период удвоения (только удвоения) первоначальной суммы при заданных процентных ставках.

n =70 / i, (1.4)

где:

- i - ставка сложных процентов (в %)

- n – период (для процентной ставки при заданных условиях).

Примечание. Правило величины 70 рекомендуется применять при ставках в диапазоне 3 – 17%%. Правило величины 70 может использоваться также для оценки инфляции.

Пример №4. Собственник денежного капитала размещенного в банке желает знать, сколько лет потребуется для удвоения капитала при начисляемой годовой процентной ставке в размере 10%?

Решение:

n =70 / i = 70 / 10 = 7 лет.

С помощью правила величины 70 можно решать и обратные задачи. Так при заданном периоде, который соответствует удвоению капитала можно рассчитать требуемый уровень процентной ставки.