1.4. Ряды с комплексными членами

В курсе математического анализа изучаются ряды, членами которых являются постоянные действительные числа или функции действительного переменного x. Точно так же можно рассматривать ряды с комплексными членами. Выражение вида

z₁ + z₂ + z₃ + . . . + z_n + . . ., (1.13)

где z = x+iy – постоянные комплексные числа, называется числовым рядом с комплексными членами. Ряд (1.13) называется сходящимся, если существует конечный предел , где s_n = z₁ + z₂ +...+ z_n– n-я частичная сумма ряда (1.13).

Наряду с рядом (1.13) рассмотрим ряды

x₁ + x₂ +...+ x_n +..., (1.14)

y₁ + y₂ +...+ y_n +..., (1.15)

z₁ + z₂ +...+ z_n +.... (1.16)

Справедливы следующие теоремы:

1) Ряд (1.13) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (1.14) и (1.15).

2) Если сходится ряд (1.16), составленный из модулей членов ряда (1.13), то ряд (1.13) также сходится. В этом случае говорят, что ряд (1.13) сходится абсолютно. Если же ряд (1.13) сходится, а ряд (1.16) расходится, то ряд (1.13) называется условно сходящимся.

Из этих теорем следует, что для определения характера сходимости рядов с комплексными членами можно применять теоремы о сходимости рядов с действительными членами.

Рассмотрим теперь степенной ряд в комплексной области

c₀ + c₁z + c₂z² +...+ c_n zⁿ +..., (1.17)

где c₀, c₁, c₂,..., c_n,...– постоянные комплексные числа, а

z = x+iy – комплексная переменная. Для рядов (1.17), как и для степенных рядов в действительной области, справедлива теорема.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1.17) сходится в точке z₀  0, то этот ряд сходится абсолютно в любой точке z, для которой z < z₀. Если же ряд (1.17) расходится в точке z₁, то этот ряд расходится в любой точке z, для которой

z > z₁.

Из теоремы Абеля также следует, что для степенного ряда (1.17) в комплексной области существует число R такое, что ряд (1.17) сходится в точках z, для которых z<R, и расходится в точках, для которых z>R. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (4.5), а круг z<R - кругом сходимости этого ряда. В частности может оказаться, что R = , или R = 0. В первом случае степенной ряд сходится во всех точках комплексной плоскости, а во втором - в единственной точке z=0.

1.5. Элементарные функции комплексного

переменного

1.5.1. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Формулы Эйлера

Рассмотрим степенной ряд

.

Если z = x - действительное число, то этот ряд сходится на всей числовой оси и определяет функцию e^x. . В силу теоремы Абеля, рассматриваемый ряд сходится на всей комплексной плоскости и определяет некоторую функцию комплексного переменного. Эта функция обозначается e^z . Таким образом, по определению

e^z = . (1.18)

Связь между функциями e^z и e^x такая же, как, например, между функциями z² и x²: функция e^z имеет более широкую область определения и совпадает с функцией e^x при z=x. Говорят также, что функция e^z является продолжением функции e^x на комплексную плоскость, а функция e^x - сужением функции e^z на действительную ось.

Точно также определяются функции комплексного переменного cosz, sinz, сhz, shz как суммы соответствующих степенных рядов:

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Из этих определений видно, что функции cosz и chz - четные, а sinz и shz - нечетные функции переменного z.

Если в равенстве (1.18) z заменить на iz, то, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов, получим

=

,

или

. (1.23)

Если в этой формуле z заменить на -z, то получим, что

. (1.24)

Из равенств (1.23) и (1.24) находим, что

, (1.25)

(1.26)

Равенства (1.23) - (1.26) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией в комплексной области. Как известно, в действительной области эти функции не связаны между собой.

Точно так же устанавливается связь между гиперболическими функциями и показательной функцией:

, (1.27)

, (1.28)

, (1.29)

. (1.30)

Формулы (1.25), (1.26) и (1.29), (1.30) позволяют установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

chiz = cosz, shiz = isinz,

(1.31)

cosiz = chz, siniz = ishz.

Рассмотрим равенство . С помощью рядов это равенство означает, что

=

Так как перемножение рядов с комплексными членами проводится по тем же правилам, что и рядов с действительными членами, то

. = .

Следовательно, формула

(1.32)

справедлива для любых комплексных чисел z₁ и z₂. В частности,

.

Отсюда следует, что функция e^z периодична с периодом 2i. Из формулы (1.32) следует также, что функция e^z не обращается в 0 ни при каком комплексном z. В самом деле,

e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny)=e^x = e^x  0.

С помощью формул Эйлера также доказываются соот-ношения

cos(z₁+z₂) = cosz₁ cosz₂ - sinz₁ sinz₂,

sin(z₁+z₂) = sinz₁ cosz₂ + sinz₂ cosz₁,

ch(z₁+z₂) = chz₁ chz₂ + shz₁ shz₂,

sh(z₁+z₂) = shz₁ chz₂ + shz₁ chz₂.

С помощью этих формул получаем

cos2z = cos²z - sin²z , sin2z = 2sinz cosz,

ch2z = ch²z + sh²z , sh2z = 2shz chz,

cos²z + sin²z = 1, ch²z - sh²z = 1.

Основные соотношения для тригонометрических и гиперболических функций действительного переменного сохра-няются для соответствующих функций комплексного переменного. Однако неравенства

cosx  1, sinx  1

для функций cosz и sinz не сохраняются. Функции cosz и sinz могут принимать значения, сколь угодно большие по модулю. Например, при z = in имеем

cosin = (e^-n + eⁿ)/2 > eⁿ/2.