Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТФКП(1.1-1.7).doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
562.69 Кб
Скачать

1. Элементы теории функций

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1. Комплексные числа и действия над ними

1.1.1. Понятие комплексного числа.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида

z = x+iy, где x и y - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица; так обозначается число, квадрат которого равен -1. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются x=Rez, y=Imz. Введем на плоскости

декартову систему координат

XOY (Рис. 1.1). Тогда каждому

комплексному числу z= x+iy

можно поставить в соответствие

точку (x,y) на плоскости XOY.

Таким образом, между мно-

жеством комплексных чисел Рис.1.1

и множеством точек на плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости и наоборот. Плоскость, служащая для изображения комплексных чисел, называется плоскостью комплексного переменного. Действительным числам z=x соответствуют точки на оси OX, чисто мнимым числам, то есть числам вида z=iy, соответствуют точки на оси OY. Поэтому ось OX называется действительной осью, а ось OY - мнимой осью.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 считаются равными, если равны их действительные и мнимые части: z1=z2,

если x1=x2, y1=y2.

Два комплексных числа z=x+iy и =x-iy, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными числами. Изображения комплексно сопряженных чисел симметричны относительно действительной оси.

Каждому комплексному числу z = x+iy можно поставить в соответствие также вектор OM, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой M(x,y). Следовательно, комплексные числа можно изображать с помощью векторов на плоскости.

Положение точки M(x,y) на плоскости можно опре-делить также с помощью полярных координат (r,). Если взять полюс в начале координат, а полярную ось направить по оси OX (рис.1.1), то x=rcos, y=rsin.

Следовательно, любое комплексное число z=x+iy можно записать в виде

z=r(cos+isin). (1.1)

Форма записи комплексных чисел в виде (1.1) называется тригонометрической в отличие от алгебраической формы z=x+iy. Число называется модулем комплексного числа z и обозначается z. Число называется аргументом комплексного числа z и обозначается Argz. Аргумент определяется для любого комплексного числа z 0 из соотношения tg= y/x не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2. Значение аргумента, удовлетворяющее неравенству -<, называется главным и обозначается argz, следовательно, Argz=argz+2n где n - любое целое число. Главное значение аргумента комплексных чисел вычисляется по формулам

Если воспользоваться формулой Эйлера

cos+ isin = ei,

то любое комплексное число можно записать также в виде

z = rei (1.2)

Форма записи комплексных чисел в виде (1.2) называется показательной формой.

Два комплексных числа, заданные в тригонометрической или показательной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на число, кратное 2.