А.А. Катрахова М.П. Семенов

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

И ОПЕРАЦИОННМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Учебное пособие

Воронеж 2004

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический

университет

А.А. Катрахова М.П. Семенов

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

И ОПЕРАЦИОННМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2004

УДК 517.53

Катрахова А.А. Семенов М.П. Лекции по теории функций комплексного переменного и операционному исчислению: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2004. 129 с.

В пособии содержится изложение теоретического материала по разделам "Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление" в соответствии с программой курса высшей математики для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Теоретический материал иллюстрируется примерами.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе МS Word XP и содержится в файлах «ТФКП(1.1-1.7)».zip, «ТФКП(1.8-1.18)».zip и «Операц-исч(глава 2)». zip и «Операц-исч(приложение)». zip

Табл. 1. Ил. 45. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р. физ.-мат. наук, проф. И.Л.Батаронов

Рецензенты: кафедра теоретической и прикладной механики ВГУ (зав. каф. д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Спорыхин;

канд. физ.-мат. наук, доц. О.И. Иванищева

 Катрахова А.А., Семенов М.П. 2004

 Оформление. Воронежский государственный

технический университет, 2004.

Введение

В первой части учебного пособия излагаются элементы теории функций комплексного переменного, то есть функций, аргументом которых являются числа, содержащие квадратный корень из отрицательных чисел, так называемые мнимые числа. Мнимые числа обязаны своим рождением одной вполне реальной математической задаче - решению уравнений третьей степени. Всякое уравнение третьей степени сводится к решению уравнений вида

. (1)

Для решения уравнения (1) более 400 лет назад итальянский математик И. Кардано предложил способ, который в современных обозначениях сводится к следующему: корни уравнения (1) могут быть вычислены по формуле

, где . (2)

Однако эта формула дает осечку, когда уравнение (1) имеет три различных действительных корня. Например, уравнение имеет корни 0, 1 и -1. Но если попытаться найти эти корни по формуле (2), то получим

Таким образом, возникла необходимость научиться обращаться с выражениями вида , где <0, в частности, извлекать из таких чисел кубические корни. В дальнейшем было обнаружено, что многие сложные математические задачи можно решить, если использовать комплексные числа, то есть числа вида , где <0. Так, например, с помощью комплексных чисел знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс сумел найти ответ на такой чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n можно построить с помощью циркуля и линейки правильный n-угольник. Широкое применение нашли комплексные числа в картографии, электротехнике, гидродинамике, теоретической физике. Уже в нашем столетии комплексные числа и комплексные функции успешно применялись советскими математиками и механиками Н.Е. Жуковским, С.А. Чаплыгиным, М.В. Келдышем в теории самолета. Г.В. Колосов, Н.И. Мусхелишвили впервые стали применять комплексные функции к расчетам различных конструкций на прочность. С применением комплексных переменных в теоретической физике связаны исследования академиков Н.Н.Боголюбова и В.С. Владимирова. В частности, комплексные переменные использовались для расчета атомных реакторов.

Значительное применение нашли комплексные числа при изучении движения естественных и искусственных спутников. Так, например, одна из важных задач, которые возникли при подготовке к запуску первых искусственных спутников, состояла в следующем: как будет двигаться спутник под влиянием силы притяжения к "сплюснутому сфероиду" (такую форму имеет земной шар). Одним из самых эффективных способов решения этой задачи оказался способ, использующий теорию функций комплексного переменного.

Мы перечислили лишь небольшую часть задач, для которых используется теория функций комплексного переменного. В настоящее время трудно найти область математики, где бы не использовались комплексные числа.

Во второй части учебного пособия на основе теории функций комплексного переменного излагается теория преобразования Лапласа. Приводятся применения преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, к решению некоторых типов интегральных уравнений, к расчету переходных процессов в электрических цепях. Метод решения задач, основанный на применении преобразования Лапласа (и других преобразований) называется операционным методом.