Лабораторна робота № 6 аналіз системи керування

Ціль роботи: досліджувати теоретично й за допомогою пакета МЛТЬЛБ стійкість, керованість, наблюдаемость і мінімальність системи керування, заданою структурною схемою, і побудувати її модель зниженого порядку.

1. Теоретичні відомості

1.1 Аналіз стійкості.

Поняття стійкості є одним з основних у теорії керування. Стійкої називають систему, яка, будучи виведена зі стану рівноваги, прагне знову повернутися в цей стан. Для нестійких систем характерна зворотна тенденція. Прикладом нестійкої системи може бути олівець, що коштує на вістря. Звичайне дослідження стійкості систем зводиться до аналізу стійкості відповідних диференціальних рівнянь. У нестійких рівнянь розв'язок необмежений зростає згодом. У теорії автоматичного керування існують різні методи аналізу стійкості. Для лінійних систем розроблені критерії стійкості, які можна розділити на кореневі, алгебраїчні й частотні.

Кореневий критерій стійкості.

Для того щоб лінійна динамічна система була стійкої, необхідно й досить, щоб усе коріння її характеристичного рівняння лежало в лівій комплексній півплощині.

Наприклад, математична модель системи, описуваної диференціальним рівнянням

X + 2 X + 5х = 0,

стійка, тому що коріння характеристичного рівняння р +2р+5=0 мають негативні речовинні частини ,₂= — 1 ±2/, тобто лежать ліворуч від осі ординат.

Алгебраїчний критерій стійкості. Алгебраїчні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість на основі аналізу коефіцієнтів характеристичного полінома. Найбільшу популярність одержав критерій стійкості Гурвіца. З нього, зокрема, випливає, що всі коефіцієнти стійкого диференціального рівняння повинні бути позитивні.

Для рівнянь другого порядку ця необхідна й достатня умова.

Для рівнянь третього порядку

а ₃х + а ₂ X + а₁ X + а₀ х = 0,

крім позитивності коефіцієнтів, повинне виконуватися додаткова умова, а саме, добуток середніх коефіцієнтів повинне бути більше добутку крайніх: а₂а₁>а₀а₃. Наприклад, рівняння х + 2 X + 0,5х + 3х = 0 хитливо, тому що 2-0,5<1-3.

Частотний критерій стійкості.

Частотні критерії носять графічний характер. Вони опираються на аналіз графіків частотних характеристик — АЧХ, ФЧХ, АФХ (остання відома також як діаграма Найквиста). Частина з них дозволяє робити висновок про стійкість замкненої системи керування по частотних характеристиках розімкнутої системи.

Наведемо як приклад критерій Найквиста. Позначимо передатну функцію розімкнутої системи Q(p) і охопимо її одиничним негативним зворотним зв'язком (мал. 1).

	Q(p)
В " до

Рис. 1. Система зі зворотним зв'язком

Нехай відомо, що розімкнута система стійка. Тоді для стійкості замкненої системи необхідно й досить, щоб годограф Найквиста розімкнутої системи не охоплював крапку з координатами (-1, 0j) на комплексній площині.

У тулбоксе CONTROL пакета MATLAB діаграма Найквиста системи sys будується командою nyquist(sys), зазначена крапка позначена на ній червоним хрестиком.

У лабораторній роботі досліджується система керування, задана структурною схемою, тому для аналізу стійкості треба спочатку знайти її передатну функцію. Структурна схема досліджуваної системи наведена на мал. 2. До її складу входять три аперіодичні ланки, а також підсумовуючі ланки, що й віднімають.

У схемі можна вказати три шляхи від входу до виходу з передатними функціями

k

- k

Q₂( p) = ^{k 2}

k

_- k

Q3( p) = ^k1

ak

Qi( p) =

Ti p +1

T₂p +1 T3 p +1

t p +1 t₃ p +1

Рис. 2. Структура досліджуваної системи Загальна передатна функція виходить, як їх сума

б (Р) = б: (Р) + Q₂(Р) + бз(P) = . C¹)

A( p)

Тут A(p) і B(p) - деякі поліноми отp (свої для кожного варіанта). Характеристичний поліном системи дорівнює знаменнику цієї передатної функції

A( p) = (Tip + 1)(T₂ p + 1)(Тз p +1). (2)

На основі наведених вище критеріїв стійкості можна укласти, що якщо коефіцієнти T₁, T₂, T₃ позитивні, то система буде стійкою. Аналіз стійкості замкненої системи можна здійснити за допомогою критерію Найквиста.

1.2. Аналіз керованості й наблюдаемости.

Поняття керованості й наблюдаемости широко використовуються в сучасній теорії автоматичного керування. Лінійна система називається керованої, якщо за допомогою

вхідного сигналу її можна перевести з початку координат у будь-яку крапку простору станів. Система називається спостережуваної, якщо по вимірах вхідного й вихідного сигналів можна однозначно визначити її початковий стан.

(3)

Аналіз керованості й наблюдаемости виконується за допомогою матриць керованості й наблюдаемости або за допомогою грамианов керованості й наблюдаемости. Ті й інші будуються по опису в просторі станів

X = АХ + Ьы, в — сх.

Щоб одержати такий опис, скористаємося структурною схемою, наведеної на мал. 2. Випишемо операторные рівняння для кожного блоку схеми

(ах₁ + х₂)

Т,р +1

Т3 р +1

К

— ы, Х2 — Ы, Х3 —

Т2 р+1

і перетворимо їх до виду

Т]рх= х+ ДОы, Х2РХ2 Х2+ до2Ы, Т3рХз аКз Х1+Кз Х2 Х3 .

Виконуючи зворотне перетворення Лапласа, одержуємо систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

Т] Х1 Х_х+К_хы,

^Т2^Х2^{= - Х}2 + ^ДО2^Ы,

Тз Х 3 аОК 3 Х1+ ДО3 Х 2 Х з.

Крім того, маємо алгебраїчне рівняння для вихідного сигналу в=Х 1-_Х3.

^{с —} [^з1 ^{0 С}3 ]

Переписуючи ці рівняння в матричній формі (3), одержуємо наступні вираження для матриць А, Ь, з:

	а11 0	0		Ъ "
а —	0 а 22	0	, ь —	Ъ2
	_а31 а 32	а 33 _		0

де ненульові елементи матриць мають вигляд

а_п —-1/т₁, а₂₂ —-1/т₂, а₃₁ — аК₃/т₃, а₃₂ — ДО₃/т₃, а₃₃ — -1/т3, Ъ, — /т₁, Ь₂ — ДО₂/т₂, з₁ — 1, з₃ — -1.

с

са

Тепер можна перейти до аналізу керованості й наблюдаемости. Сформуємо на основі матриць А, Ь, із дві допоміжні матриці

R — [Ь, АЬ, ..., А^п-1Ь], D

п-1

са

Матриці R і D називаються відповідно матрицею керованості й матрицею наблюдаемости системи. У пакеті МААВ їх можна побудувати за допомогою команд гЬ і obsv.

Критерій керованості. Для того щоб система (3) була керованої, необхідно й досить, щоб матриця керованості мала повний ранг гапкл=п.

Критерій наблюдаемости. Для того щоб система (3) була спостережуваної, необхідно й досить, щоб матриця наблюдаемости мала повний ранг гапю=п.

У випадку систем з одним входом і одним виходом матриці R і D квадратні, тому для перевірки керованості й наблюдаемости досить обчислити визначники матриць R і D. Якщо вони не дорівнюють нулю, то матриці мають повний ранг.

Інший спосіб перевірки керованості й наблюдаемости опирається на обчислення грамианов керованості й наблюдаемости. Так називаються симетричні квадратні матриці Wc і Wo, обумовлені рівностями

л'г т лг 7, е з рє ш

Ж_с =

ж_а =

е^лгЬЬ^те^л Шг,

У пакеті МАТЬАВ їх можна знайти за допомогою команд типу gram(sys, 'с'), gram(sys, 'о'). Необхідні й достатні умови керованості й наблюдаемости мають вигляд det Wc0, det Wo0.

1.3 Аналіз мінімальності моделей.

Однієї й тієї ж передатної функції Q(p) можна зіставити цілий клас еквівалентних реалізацій у просторі станів, характеризуемых різними трійками матриць (А, Ь, с) різних, загалом кажучи, розмірів. Реалізація називається мінімальної, якщо розмір її матриці А найменший серед усіх еквівалентних реалізацій. Пошук такої реалізації має практичний сенс, тому що її моделювання на ЕОМ вимагає менших обчислювальних витрат.

Для аналізу мінімальності реалізації потрібно перевірити її керованість і наблюдаемость.

Критерій мінімальності. Для того щоб реалізація (3) була мінімальної, необхідно й досить, щоб вона була керованої й спостережуваної одночасно.

Таким чином, аналіз мінімальності конкретної реалізації зводиться до перевірки пари критеріїв гапкк=п, гапш=п.

Якщо хоча б один з рангів менше п, то реалізація немінімальна. Розмірність еквівалентної мінімальної реалізації п₀ визначається по формулі п₀= гапк(КС).

Аналіз мінімальності за допомогою грамианов керованості й наблюдаемости проводиться аналогічно. Критерієм мінімальності служить виконання умови det(Wcwo)0, еквівалентного парі умов det Wc0, det Wo0.

Якщо вихідний опис реалізації виявився немінімальним, то виникає завдання перехід до мінімальної реалізації. Щоб розв'язати її, спочатку перейдемо від опису в просторі станів (3) до передатної функції

1 В(р)

Q(p) = з(ре - А) Ь = Ар. (4)

^А( Р⁾

Далі потрібно виділити загальний множник у чисельнику й знаменнику передатної функції Q(p) і скоротити на нього. Ця процедура відома, як скорочення співпадаючих нулів і полюсів системи.

Відзначимо ряд співвідношень між елементами матриць А, Ь, з і коефіцієнтами передатної функції, що випливають із формули (4),. Знаменник передатної функції збігається з характеристичним поліномом матриці А

A(p)=det(pe-A) = pn + а_пЛр^пЛ +...+ ap + ao.

Його коріння X₁, ..., X дорівнюють власним числам матриці А, а коефіцієнти ао й an_i з точністю до знака рівні її визначнику й сліду

ao = det(-A )= (-1)ⁿ Xi X2 ...Xn, (5)

-an-1 = tra = a₁₁ + a₂₂ +...+ ann = X₁ +X₂ +...+Xn.

Старший і молодший коефіцієнти чисельника передатної функції

В(р)= bn-1pn'¹ +...+ b1p + bo

задовольняють співвідношенням

bn-1 = cb, b₀/ a₀= - c A-1 b. (6)

Величина k₀= b₀/ a₀ називається статичним коефіцієнтом підсилення. Вона дорівнює установившемуся значенню перехідної функції системи. У пакеті MATLAB для обчислення статичного коефіцієнта підсилення є команда dcgain ( від direct current gain - коефіцієнт підсилення по постійному струму). У її основу покладена формула k₀=Q(0). Наведені співвідношення зручно використовувати для контролю обчислень.

Одержання мінімальної реалізації в пакеті MATLAB здійснюється командою minreal, для обчислення нулів і полюсів можна використовувати функції zero, pole, pzmap, zpk. Аргументом у всіх випадках служить досліджувана система sys, попередньо сформована командами ss або tf.

2. ЗАВДАННЯ ПО РОБОТІ Й ЗМІСТ ЗВІТУ

• Намалювати схему мал.2 для свого варіанта й знайти її передатну функцію по формулі (1).

• Перевірити стійкість системи, використовуючи алгебраїчний і кореневий критерії.

• Одержати для свого варіанта схеми опис у просторі станів виду (3) і виписати матриці A, В, С.

• Знайти матриці керованості й наблюдаемости системи, визначити їхні ранги й зробити вивід про керованість, наблюдаемости й мінімальності системи.

• Знайти передатну функцію по формулі (4), і зрівняти її з отриманої в п.1. Перевірити виконання співвідношень (5), (6). Трьома способами ( за структурною схемою, передатній функції й опису в просторі станів) знайти статичний коефіцієнт підсилення системи.

• Визначити порядок мінімальної реалізації й знайти її передатну функцію, виконавши скорочення нулів і полюсів. Знайти реакцію мінімальної реалізації на одиничний стрибок і побудувати її графік.

• Привести програми мовою MATLAB для виконання пунктів 2 - 6 і короткий опис призначення й синтаксису команд rank, ss, tf, zpk, zero, pole, pzmap, ctrb, obsv, minreal, dcgain.

3. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

• У діалоговому режимі пакета MATLAB увести матриці A, b, c і сформувати ss- опис системи sys=ss(A, b, c, 0). Використовуючи команди pole, eig, pzmap, знайти полюсы системи й одержати графік їх розташування на комплексній площині. Зробити вивід про стійкість. Побудувати діаграму Найквиста системи й зробити висновок про стійкість системи, охопленим зворотним зв'язком (мал.1).

• Знайти матриці керованості й наблюдаемости, обчислити їхні визначники й ранги. Зробити вивід про керованість, наблюдаемости й мінімальності. Знайти грамианы керованості й наблюдаемости.

• За допомогою команд tf і zpk перейти до передатної функції. Двома способами одержати мінімальну реалізацію (скорочуючи нулі й полюса, і за допомогою команди minreal).

Зрівняти перехідні функції вихідної й мінімальної реалізацій, а також їх статичний коефіцієнт підсилення.

4. Набрати схеми вихідної й мінімальної реалізацій в SIMULINK і зрівняти їхні реакції на однакові вхідні сигнали.

		"- 1 п "		Т				"- 3 1 "		"1"
а)	А =	1 - 2	, ь =	п	, з = [1 1],	б)	А =	1 - 2	, ь =	1
		"- 4 1 "		"п"				"- 4 2 "		"1"
в)	А =	2 - 3	, ь =	1	, з = [1 2],	г)	А =	1 - 3	, ь =	2

• Знайти ранги матриць керованості й наблюдаемости для систем з п.1.

• Намалювати структурні схеми систем, матриці яких наведені нижче.

4. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• Знайти передатні функції систем, заданих у просторі станів трійкою матриць:

1 п 1 Гі!Г- Г- з і 1 ГГ

с = [П 1],

с=[^п 4

№	1	2	3	4	5	6	7
А	П 1	п 1	п 1	п 1	1 п	1 п	1 1
	п п	1 п	-1 п	1 1	п 2	п 1	1 1
ьт	п 1	п 1	п 1	п 1	1 1	п 1	п 1
с	п 1	п 1	п 1	п 1	1 1	п 1	1 1

Визначити, які з них є:

а) стійкими; б) керованими; в) спостережуваними; г) мінімальними. 4. Система керування задана структурною схемою, показаної на мал. 3.

Рис. 3. Система керування третього порядку

и

У

Потрібно: а) знайти статичний коефіцієнт підсилення схеми;

б) знайти передатну функцію схеми й проаналізувати її стійкість;

в) знайти опис схеми в просторі станів; побудувати матриці керованості й наблюдаемости, зробити вивід про мінімальність;

г) з'ясувати, при яких значеннях коефіцієнта до схема буде стійкої, керованої, спостережуваної.

5. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
кг	1	3	2	1	4	3	3	3	2	3	2	2	4	2	2	2	3	4	3	3	1
Ті	1	4	2	3	1	3	3	2	2	4	1	1	2	3	5	2	2	4	1	1	4
до2	5	3	6	1	6	4	1	2	6	4	3	7	5	4	6	5	1	3	2	3	4
Т2	1	4	2	3	1	3	3	2	2	4	2	2	2	4	5	2	2	4	1	1	4
кз	5	2	2	4	3	3	6	6	2	5	6	4	7	2	2	2	4	4	5	5	4
Тз	4	2	1	2	4	5	3	3	4	3	5	5	2	2	5	2	4	2	2	4	3
а	-2	-1	-1	-2	-1	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-1	-2	-1	-1	-1	-2	-2	-2	-1	-1

Лабораторна робота №7

МОДЕЛЮВАННЯ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ

Ціль роботи: ознайомитися з методикою моделювання різницевих рівнянь за допомогою пакета MATLAB і SIMULINK.