5. Варіанти завданні

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
з-1	2	3	5	6	8	2	4	6	4	2	9
100л2	0,5	1,5	2,0	1,0	0,5	2,0	1,5	2,0	3,5	2,5	0,5
№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
з-1	7	5	3	4	2	7	2	3	4	6	9
100л2	1,0	1,5	0,5	2,0	1,5	0,5	4,0	2,0	3,0	0,5	1,0
№	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
з-1	3	2	5	4	6	4	2	5	7	3	5
100л2	2,5	1,0	3,0	2,5	1,5	0,5	3,0	1,0	1,5	3,0	0,5

Лабораторна робота № 5

МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВАННІ СТРУНИ

Ціль роботи: ознайомитися з методикою комп'ютерного моделювання коливань струни за допомогою пакетів МАТЬАБ і SIMULINK.

1. Теоретичні відомості

1.2. Власні частоти й власні коливання струни.

Завдання про поперечні коливання струни - одна із класичних завдань математичної фізики. У ній розглядається туго натягнута струна, закріплена в кінцевих крапках. Якщо вивести струну з положення рівноваги, наприклад, відтягнути її й потім відпустити, то струна почне коливатися. У процесі коливання величина відхилення й буде залежати від абсциси крапки струни х і часу Таким чином, щоб знати положення будь-якої крапки струни в довільний момент часу, треба знайти залежність і від х і I, тобто знайти функцію й(х,£). Якщо вважати струну абсолютно гнучкої, пружної (, що підкоряється закону Гука) і розглядати малі коливання, то функція й(х,{) задовольняє рівнянню:

₂ д и д и ₂ Т

а = -а = —, (1)

дх² д12 р ^W

де Т - сила натягу струни, р - її лінійна щільність (маса одиниці її довжини).

Рівняння (1) називається рівнянням вільних коливань струни або одномірним хвильовим рівнянням. До нього зводиться не тільки розглянуте завдання, але й багато інші, наприклад, завдання про поперечні коливання літальних апаратів, завдання про флаттере (коливаннях крила літака).

Для виділення конкретного розв'язку в завданні про коливання струни задаються граничні умови двох видів: початкові й крайові. Початкові умови показують, у якому стані перебувала струна в момент початку коливання ( тобто описують форму струни й швидкість її крапок при I = 0). Початковий стан струни задається двома функціями:

І її \ ^ди й\ = т (х),

^!і=^{0 л} ді

і =0

= <( х). (2)

Крайові умови показують, що відбувається на кінцях струни під час коливань. Якщо кінці струни закріплені (початок струни - на початку координат, а кінець - у крапці х=), функція й(х) буде підкорятися умовам:

і = 0, і\ = 0. (3)

1х=0 ' 1х=/ ⁴ '

Характер коливань струни сильно залежить від початкових умов. Найбільш простий випадок виходить, коли в початковий момент часу струні надають форму півхвилі синусоїди /(х)=$лшх /1 і відпускають без початкової швидкості. Тоді всі крапки струни будуть робити гармонійні коливання з однієї й тою же частотою ю₁, так що в будь-який момент часу форма струни буде відрізнятися від вихідною тільки амплітудою (мал. 1,а).

б)

Рис. 1. Перше й друге власні коливання струни

Математично такі коливання описуються формулою

і(х, = А₁()бшлх/1, А₁ (/) = собю. (4)

Це так зване перше власне коливання струни, йому відповідає низькочастотний чистий тон. Саме він використовується музикантами при настроюванні гітари або рояля. Щоб знайти першу власну частоту ю₁, підставимо функцію (4) у рівняння (1). Після диференціювання й скорочення на загальний множник одержуємо:

а²л²/I² = ю₁₂, з₁ = червоний/I.

Таким чином, розв'язок рівняння (1) у розглянутому випадку описується формулою

/ \ an . ж u₁ (x, t) = cos —-— t • sin в x. (5)

Друге власне коливання одержимо, задавши початкову умову у вигляді f(x)=sln2nx//. Форма струни в різні моменти часу для цього випадку показана на мал. 1,б. Вона описується рівнянням

u(x, t) = A₂ (t)sin2nx//, A₂ (t) = cos®₂t.

Підставляючи ці вираження в рівняння (1), знаходимо, що друга власна частота т₂=2ож//. Звідси одержуємо формулу для другого власного коливання

/ \ 2аж . 2ж u₂ (х, t)= cos--— t • sin —-— x. (6)

Аналогічно виводяться формули для третього й інших власних коливань:

3аж . 3ж

/ \ зил . вул

u₃\ х

(х, t)= cos 1 • sin — x,... .

/ /

Якщо струна коливається із власною частотою т_к=каж/1, то в неї будуть до+1 нерухливих крапок (вузлів) і до крапок пучности (крапок, де відхилення досягають максимуму). Коливання такого виду називаються стоячими хвилями.

а)

Коли струна коливається, вона видає звук, висота якого зростає із частотою коливань. Якщо струна робить власні коливання, то найнижчий тон буде, коли

частота рівна ш₁. Інші тони, відповідні до частот називаються обертонами або гармоніками. Якщо струна робить вільні коливання, то функція й(х, , представляється у вигляді суми окремих гармонік. Це дозволяє записати загальний розв'язок рівняння (1) у вигляді нескінченного ряду Фур'є.

1.2. Дискретизація просторової координати.

Для переходу від рівняння (1) до конечномерной моделі здійснимо дискретизацію завдань по змінній х. У результаті вийде система звичайних диференціальних рівнянь, число рівнянь у ній залежить від кроку дискретизації h. Із цією метою виділимо на струні п рівновіддалених крапок з координатами х₁, х₂, ..., х_п (мал. 2).

и

х

XI Х2 Хз

X ь1

X і ••• X _п-2 X _п-1 ^хп I

Рис. 2. Конечномерная модель струни

Тим самим струна умовно розбивається на п рівних ділянок довжини h = 1/п і заміняється наближеною моделлю у вигляді п-1 мас (крапок, бусинок), закріплених на невагомій нитці. Рух розглянутих крапок у процесі коливань струни буде описуватися деякими функціями часу щ(1), і₂(0, ..., и_п-1({). Для обчислення другої похідної по х від функції й скористаємося наближеною формулою

д²і( x,t)

h-і п

дx²

^иі₊1 - ^2иі + ^иі_1

h²

X- X

Записуючи тепер рівняння (1) для крапок х₁, х₂, ..., х_п-1, одержуємо систему звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

С²_и а²

— Ь{и_м - 2и + и-1), і — 1, п -1, Ь — — (7)

т h

с граничними умовами й₀ = 0, и_п = 0, і(0) = /(X) Вона являє собою конечномерную модель струни.

Зокрема, для п = 4, Ь =1 ця модель буде містити три рівняння

і ₁ ⁼ і ₂ - 2і₁ + і ₀,

і ₂ = і₃ - 2і ₂ + і₁, (8)

і з — і 4 2і з і 2,

с крайовими умовами й₀= і₄=0.

Сумарний порядок рівнянь рівний 6, тобто ми маємо справу із шестивимірною моделлю.

Початкову швидкість струни будемо вважати нульовий і₁ (0) — і₂ (0) — і₃ (0) — 0. Щоб знайти розв'язок цієї системи, перепишемо її в матричній формі

		"- 2	1 0 "		і1
і = А0і,	А0 =	1	- 2 1	, і =	і 2
		0	1 - 2		і 3

Розв'язок будемо шукати у вигляді й=Нсо$>аї, де вектор Н и частота ю підлягають визначенню. Після підстановки цього вираження в (9) одержуємо співвідношення

А₀ Н = -ю² Н.

Це означає, що Н и -ю² - власні вектори й власні числа матриці Ао. Щоб знайти власні числа, виписуємо характеристичний поліном матриці Ао:

гїеАЕ - А₀ ) = Л + 6Л² + 10Л + 4 = (Л + 2)(Л² + 4Л + 2),

і знаходимо його коріння

Н =

Л =-2 + л/2 =-0,5858, Л₂ =-2, Л₃ =-2 -л/2 = -3,4142.

Їм відповідають власні вектори, що задовольняють алгебраїчним рівнянням

АоНі=ЛіН{:

" 1 "		"- 1"		" 1 "
42	, Н 2 =	0	, Н3 =	-л/2
1		1		1

і власні частоти з = Л : 1=0,7654, ш₂=1,4142, ш₃=1,8478. Загальний розв'язок системи (9) має вигляд

і) = з₁Н₁ cosс_lt + з₂Н₂ cosс₂t + з₃Н₃ cosс₃t, (10)

постійні з\, з₂, з₃ залежать від початкових умов і0), і₂(0), і₃(0).

Рівняння для їхнього визначення одержуємо зі співвідношення (10) при 0:

і (0) = сН + з 2 Н 2 + Сз Н 3.

У нашому випадку одержуємо систему

Вона легко вирішується:

^З1 = ^{12 (0)} + ^з (0)1

с₁ - з₂ + з₃ = і₁ (0), л/2з₁ -42з₃ = і₂ (0), з₁ + з₂ + з₃ = і₃ (0).

с₂ = 2 [і3 (0)-і (0)1 з3 =¹ і (0) - л/2і₂ (0) + і3 (0)]

Цим завершується одержання аналітичного розв'язку для дискретної моделі струни (8).

Особливо прості розв'язки виходять, коли початкова форма струни симетрична щодо середини иі(0)= і₃(0), при цьому властивість симетрії зберігається й у процесі коливань. Наприклад, при й₁(0)= і₃(0)=2, і₂(0)=0 одержимо

і₁ = і₃ = собю + собю ₃ґ, і₂ = л/2з8® -л/2совю₃ґ.

1.3. Моделювання в SIMULINK.

u₀=0

u₄=0

X2 Хз l

Рис. 3. Схема моделювання коливань струни

Для структурного моделювання системи рівнянь (8) скористаємося методом Кельвіна, застосовуючи його до кожного із трьох рівнянь окремо й потім з'єднуючи отримані схеми між собою. У результаті одержуємо схему моделювання на суматорах і інтеграторах, показану на мал. 3. У його нижній частині умовно зображена досліджувана струна, розбита на 4 ділянки. Схема містить три фрагменти, з'єднані прямими й зворотними зв'язками. Вихід першого фрагмента u₁ характеризує коливання крапки струни х₁, вихід другого фрагмента u₂ характеризує коливання крапки х₂ і т.д.

Виходи внутрішніх інтеграторів кожного із трьох фрагментів показують, як змінюються швидкості тих же крапок.

При реалізації схеми в SIMULINK потрібно на входах інтеграторів и_ь і₃, і₅ поставити суматори, а вихідні сигнали інтеграторів і₂, і₄, і₆ спостерігати за допомогою блоку осцилографа Scope. Перед початком моделювання на інтеграторах і₂, і₄, і₆ установлюються початкові умови, відповідні до початкової форми струни, а на інтеграторах і₁, і₃, і₅ - умови, відповідні до початкових швидкостей крапок х₁, х₂, х₃ (у нашому випадку вони дорівнюють нулю).

1.4. Моделювання в MA TLAB.

	"0"
, D =	0
	0

Для чисельного моделювання рівнянь (8) в MATLAB зручніше за все використовувати команду initial. Попередньо треба ввести матриці A,B,C,D опису в просторі станів і сформувати структуру sys=ss(A,B,C,D). У нашому випадку ці матриці мають вигляд

	" 0	0	0	1	0	0"		"0"
	0	0	0	0	1	0		0
										1		0		0		0	0		0"
	0	0	0	0	0	1		0
A =							, в =		, C =	0		1		0		0	0		0
	- 2	1	0	0	0	0		0
										0		0		1		0	0		0
	1	-2	1	0	0	0		0
	0	1	-2	0	0	0		0

Вони можуть бути отримані із системи (8) після введення змінних u₄, u₅, u₆, рівних швидкостям крапок х₁, х₂, х₃, або за схемою мал. 3 шляхом виписування рівнянь для кожного інтегратора.

Далі вводиться масив часу t і вектор початкових умов U0 (його перші три компоненти - задані числа, що випливають три - нулі). При формуванні матриць в MATLAB можна користуватися командами zeros, eye, ones, наприклад: >>B=zeros (6,1), >>C=[eye(3), zeros(3)]. Результат виконання команди >>U=initial(sys,U0,t);

можна спостерігати за допомогою команд plot(t, U) - звичайні графіки, і mesh (U) - графіки поверхні u(x, t) у тривимірному просторі.

В MATLAB можна одержати не тільки чисельне, але й символьний розв'язок системи диференціальних рівнянь (8). Це робиться за допомогою команди dsolve тулбокса SYMBOLIC. Вхідними аргументами команди служать диференціальні рівняння й початкові умови (ті й інші полягають в одиночні лапки - строковий формат).

У нашому випадку набираємо код

>> y=dsolve('D2u1=u2-2*u1','D2u2=u3-2*u2+u1','D2u3=u2-2*u3','Du1 (0)=0','Du2(0)=0','Du3(0)=0')

>> simplify(y.u1),simplify(y.u2),simplify(y.u3)

Результатом виконання першої команди буде символьна структура. Другою командою витягаємо з неї змінні u1, u2, u3 і спрощуємо їх. Отримані формули з точністю до позначень збігаються з розв'язком, знайденим раніше в п. 1.2.

sin(2 ж x) cos(rc/2 t)

Для візуалізації символьних розв'язків служать команди ezplot і ezsurf. Як приклад їх використання на мал. 4 показані поверхні, що відповідають першому й другому власним коливанням струни, описуваним формулами (5), (6)..

sin(rc x) cos(rc /4 t)

Рис. 4. Просторове зображення власних коливань струни

Вони побудовані за допомогою команд

>>ezsur"f('sin(pi*x)*cos(pi/4*t)',[0,20,0,1]) >>ezsurf('sin(2*pi*x)*cos(pi/2*t)',[0,20,0,1])

0

Рис. 5 ілюструє погрішність, внесену дискретизацією просторової координати.

	// / >	\ с V л	оз(я 1/2)/-- / л л	\ \
ц	Ь
V \\ \\	/ * / # / сої / /		/ 1/ / / / / я
\\ V	// // л/	V	В/

1

0.5 0

-0.5 -1

4

2

6

8

10

Рис. 5. Графіки власного коливання для безперервної й дискретної моделей

На ньому показані графіки другого власного коливання, отримані шляхом розв'язку рівняння в частинних похідних (1) і системи диференціальних рівнянь (8) при

а = 1, п = 4. Суцільної кривій відповідає точне значення другої власної частоти

2=/2=1,57, пунктирної - значення з₂ = 42 = 1,41, рівне кореню із другого власного числа матриці А (9). Для побудови графіка використовувалися команди

>>ezplot('cos(sqrt(2)*t)',[0,10]);grid, >>1юмр1ок'(р2П)\[0,10])

Очевидно, що зі збільшенням числа ділянок, на які розбивається струна при дискретизації, криві будуть зближатися.

2. ЗАВДАННЯ ПО РОБОТІ Й ЗМІСТ ЗВІТУ

• Зобразити на графіку початкову форму струни для свого варіанта. Провести дискретизацію рівняння (1), умовно розбивши струну на чотири рівні ділянки.

• Розв'язати отриману систему рівнянь теоретично. Для заданої _Дх) побудувати графіки щ(1), для трьох крапок струни х=0,25; 0,5; 0,75.

• Скласти повну схему моделювання для SIMULINK. Розрахувати амплітуду й період косинусоиды на виході кожного із трьох фрагментів схеми при відсутності зв'язків між ними.

• Розрахувати початкові умови (0) і й₂(0) для одержання першого й другого власних коливань шестивимірної моделі струни. Оцінити, на скільки відсотків відрізняються їхні власні частоти від теоретичних.

• Виписати матриці А, В, З опису в просторі станів, привести програми чисельного й символьного моделювання в МЛТЬЛБ.

3. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

• Зібрати в SIMULINK три фрагменти схеми моделювання, не з'єднуючи їх між собою. Перевірити їхня ідентичність, установивши скрізь однакові початкові умови й зрівняти виходи схем.

• З'єднати схеми між собою, установити початкові умови для одержання першого й другого власних коливань. Зрівняти їхні графіки з теоретичними.

• Установити початкові умови для свого варіанта, отримані графіки зрівняти з теоретичними.

• Виконати моделювання в MATLAB, використовуючи матриці опису в просторі станів і команду initial. Побудувати графік поверхні u(x, t) у тривимірному просторі, використовуючи команду mesh.

• Одержати символьний розв'язок в MATLAB, використовуючи команду dsolve. Визуализировать отриманий розв'язок за допомогою команди ezsurf.

4. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• Чим визначається загальне число граничних умов? Чим крайові умови відрізняються від початкових? Який вид мають початкові умови в завданні про коливання струни при грі на роялі й на гітарі?

• Вивести формули кінцево-різницевої апроксимації першої й другий похідних. Оцінити точність цих формул на конкретному прикладі.

• Що таке власні коливання й власні частоти? Який фізичний зміст цих понять? Намалюйте для різних моментів часу форму струни, що коливається із третьою власною частотою.

• Виконати дискретизацію, розбивши струну на 3 ділянки й прийнявши b=1. Для отриманої системи диференціальних рівнянь: а) знайти власні частоти коливань; б) знайти власні вектори матриці Ао; в) знайти початкові умови для одержання власних коливань; г) знайти розв'язок для випадку u₁ (о) = 0, u₂ (о) = 1.

• Знайти розв'язок і намалювати графіки коливань струни для свого варіанта при

U (о) = 1, u₂ (о) = 0, u₃ (о) = -1.

• Провести для рівняння струни дискретизацію не по просторовій змінної х, а за часом t. Зрівняти отриману схему моделювання зі схемою для дискретизації по просторі. Указати фізичний зміст початкових умов для парних і непарних інтеграторів. Які сигнали слід подавати на вхід першого й останнього фрагментів схеми?

5. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

Розглядається струна одиничної довжини (/=1) із закріпленими кінцями. Її рух описується хвильовим рівнянням (1) з нульовими граничними умовами (3). Початкові умови задаються формулами (2), причому

ср(x) = 0, f (x) = a₁ sin та + a₂ sin 3mx, 0 < x < l.

Значення коефіцієнтів а\, а₂ і параметра b, що входить у рівняння (7), наведені в таблиці.

N	l	2	3	4	5	6	7	s	9	10
ai	і	і	0,5	і	0,5	і	і	0,2	і	-і
а2	і	0,5	і	і	0,5	і	і	-і	0,і	і
b	і	і	і	2	2	2	3	3	3	3
N	il	12	13	14	15	16	17	18	19	20
а1	0,7	0,9	-і	0,5	0,6	2	0,3	і	0,4	і
а2	0,8	і	-і	і	-0,5	0,і	і	0,3	і	0,8
b	і	і	0,5	0,5	0,5	0,5	і	і	і	2
N	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
а1	0,7	0,7	-0,7	0,5	-0,5	0,4	0,8	0,8	0,8	0,6
а2	0,8	-0,8	0,8	0,5	0,6	0,4	0,3	-0,і	-0,3	0,7
b	2	2	і	4	4	4	4	2	2	2