Лабораторна робота № 4 моделювання подвійного маятника

Ціль роботи: дослідження коливань подвійного маятника шляхом комп'ютерного моделювання в пакетах SIMULINK і МЛТЬЛВ.

1. Теоретичні відомості

1.1. Вивід диференціальних рівнянь подвійного маятника.

Динаміка механічних систем описується законами Ньютона. При відсутності тертя вони приводять до системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, матричний запис яких має вигляд

МХ + КХ = 0. (1)

де М, ДО - постійні матриці розмірів т х т.

Якщо, наприклад, мова йде про рух системи матеріальних тіл, то вектори Х и X характеризують положення й прискорення цих тіл, а матриці М и До залежать від мас і сил. Загальний розв'язок системи (1) містить п = 2т довільних постійних, для їхнього визначення необхідно знати п початкових умов. Вид розв'язку визначається коріннями р\, ..., р_п характеристичного рівняння, яке одержують, дорівнюючи нулю визначник

Мр² + к| = 0.

Для консервативних коливальних систем (систем без тертя й втрат енергії) коріння виходило чисто уявними рі= ±/ю₁. Позитивні числа з, ..., ст називаються циклічними частотами системи.

Такому корінням відповідає загальний розв'язок виду

Х(ґ) = зСОБСґ + (р\)+ ...+ с_тН_тСОБ(ю_тҐ + (р_т), (2)

де с_і, (р_і - довільні постійні. Вектори Н_і задовольняють алгебраїчним рівнянням виду (Мрі + ДО )Н_і = 0, які виходять у результаті підстановки окремих

компонент розв'язку (2) у систему (1).

Як приклад механічної системи, описуваної рівняннями виду (1), розглянемо подвійний маятник. Так називають систему із двох маятників - важкого, маси т₁ і легені, маси т₂. Легкий маятник підвішений до важкого, як це показане на мал. 1. Маси т₁ і т₂ будемо вважати крапковими, довжини ниток - однаковими 11 = 12= 1, кути а₁ і а₂ - малими.

При зазначених умовах для подвійного маятника характерно так зване явище биттів, супроводжуване циклічним обміном енергією між маятниками. Зовні картина коливань виглядає досить зненацька: без видимих причин один з маятників час від часу мимовільно зупиняється, а іншої починає інтенсивно розгойдуватися. Подібні коливання можуть виникати при спуску на парашуті, при підйомі по мотузковим сходам і в інших ситуаціях.

Для виводу диференціальних рівнянь малих коливань подвійного маятника скористаємося законом збереження сповненої енергії Е, згідно з яким

(3)

	\7і
*	х\
*	ІД 12
	Х2 \

а_і

hl

«2-

Е = Е_К + Е_П = сош

де Е_к і Е_П - кінетична й потенційна енергії.

Вираження для кінетичної енергії малих коливань має вигляд

• 2 • 2

(4)

2

т

h2

Рис 1. Подвійний маятник

і Хі т2 ^Ек = " '

2 '

де х₁ і х₂ - горизонтальні відхилення важкого й легені маятників від положення рівноваги. Потенційна енергія визначається вертикальним відхиленням маятників М и

еп = тіі + Ш2= ^£[тіх² + т₂хі + т2(Х2 - х²]. (5)

21

Підставляючи вираження (4) і (5) в (3) і переходячи до матричної форми запису, одержуємо

(6)

2

Е = ^іХ^ТМХ + Х^ТКХ = const

2

де

ті	0 "	К II £	ті + 2т2 - т2	, X =	Хі
0	т2 _	1	_ - т2 т2 _		_Х2 _

знак Т означає транспонування.

Геометрично рівняння (6) задає деякий еліпсоїд у чотиривимірному просторі станів з координатами х₁, х₂, Х₁, Х₂. Розміри еліпсоїда пропорційні сповненої енергії маятника. Кожному стану маятника відповідає певна крапка еліпсоїда, при коливаннях вона переміщається по деякій траєкторії, що лежить на його поверхні.

Щоб знайти рівняння такої траєкторії, продифференцируем рівність (6) за часом:

Х^ТМХ + Х^ТКХ = Х^Т(МХ + КХ) = 0. (7)

При диференціюванні ми скористалися наступною формулою:

— YTMY = YTMY + YTMY = 2YTMY.

<м

Рівність (7) повинне виконуватися при будь-яких значеннях першого співмножника, тому другий співмножник повинен рівнятися нулю МХ + КХ = 0.

М =

Ми знайшли систему диференціальних рівнянь, що описують рух подвійного маятника. Її більш докладний запис має вигляд

£	ті + 2т2	- т2"	Хі		"0"
1	_ - т2	т2 _	_ Х2 _		0

Х і

0

т,

0 т₀

Х гу

Переходячи до скалярних рівнянь і вводячи позначення л²=т₂/т до = g/l, остаточно одержуємо

х ₁ + до²(1 + х₁ - /л² до²х₂ = 0, х₂ - до² х₁ + до² х₂ = 0.

1.2. Розв'язок диференціальних рівнянь подвійного маятника.

(8)

Рівняння (8) можна розв'язати аналітично, тому що вони являють собою лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Для спрощення подальших викладень покладемо до = 1 і будемо вважати л << 1, тоді система рівнянь (8) ухвалює вид:

1 - л² -1 1

(9)

X + АХ = 0, А =

Випишемо характеристичне рівняння цієї системи

р² +1 - / -1 р² +1

Воно має 4 чисто уявних кореня р₁,₂ = ±/ю₁, р₃,₄ = ±/®₂, де циклічні частоти а>₁, з₂ визначаються рівністю Ю₁,₂ = д/1 ± л ~ 1 ± 0,5/.

Отже, загальний розв'язок має вигляд (2) при т=2:

хзсоб + (р₁) + з₂н₂соб(ю₂ + (р₂).

Н1

Вектори Н₁ і Н₂ - це власні вектори матриці А, вони мають вигляд:

" 1 "		" 1 "
	, Н2 =
-1/л_		1/ л_

Для визначення довільних постійних з₁, з₂, порівн₁, (р₂ задамо початкові умови х₁(0)=1; х₂(0)=0, х₁(0) = х₂(0) = 0. Підставляючи їх у вираження для Х и Х, одержуємо (р₁ = (р₂ = 0; З₁ = З₂ = 0,5. Остаточний вид розв'язку:

х₁ =0,5 (собю + собю₂) = соб(«0 соб I,

(10)

х₂ = (- 0,5 - соБЮ₂Г)=(1/«)БтС«0 sin I

У звіті потрібно побудувати графіки по формулах типу (10). При малих л перший співмножник у цих формулах міняється значно повільніше, чим другий, що дозволяє розглядати його, що як обгинає результуючого графіка. Тому при побудові графіка х₁() зручно спочатку побудувати, що обгинають ±соб, а потім заповнити область між ними косинусоидальным сигналом з періодом 2л. Аналогічно будується графік функції

х2(0.

Ер² + А

(р² +1)² - л² = 0.

Графіки х₁() і х₂() мають экстремумы й нулі в крапках, кратних л/2, тому доцільно розрахувати їхні значення для цих моментів і отримані дані звести в таблицю. Цією таблицею зручно користуватися й при побудові фазової траєкторії. Приклад графіків функцій х₁() і х₂() для / = 0,125 показаний на мал. 2.

Рис. 2. Графіки коливань подвійного маятника

Графіки являють собою "швидкі" коливання з періодом 2л, модульовані "повільними коливаннями" з періодом і наочно описують явище биттів, що полягає в циклічній "перекачуванні" енергії від одного маятника до іншого.

Биття можна охарактеризувати трьома параметрами - періодом швидких коливань т, періодом повільних коливань Т и числом "швидких" коливань за період биттів п = Т/т.

Побудова графіка фазової траєкторії також зручно починати зі знаходження його ", що обгинає", тобто геометричної фігури, усередині якої він розташований. Для подвійного маятника такою фігурою є ромб із центром на початку координат.

Щоб побудувати фазову траєкторію, слід спочатку намалювати цей ромб, а потім, користуючись отриманими раніше таблицею й графіками мал. 2, послідовно наносити крапки (х_і, х₂), що відповідають экстремумам і нулям функцій х_і й х₂, і з'єднувати їхньої плавної кривої, уписаної в ромб. Якщо відмовитися від припущення, що спрощує, <<<і то ромб перестане бути строго симетричним щодо координатних осей і прийме вид, показаний на мал. 3.

1.3. Складання структурної схеми моделювання.

-і

Рис. 3. Траєкторія в площині Х_і, х₂

Для побудови такої схеми скористаємося методом зниження похідних, застосовуючи його до кожного з рівнянь (8). Відповідно до цього методу припустимо, що нам відомі другі похідні X ₁, X₂ . Пропускаючи кожну з них через ланцюжок із двох послідовно включених інтеграторів, одержимо змінні х₁ і х₂. Після цього сформуємо необхідні нам значення других похідних на основі рівностей (8):

2 2 2 2 2 2 х ₁ = — k (1 + 2 ц)х₁ + ц k х₂, X ₂ = — k — х₁ k х₂

0	0	1	0
0	0	0	1
в2 до2	12 до2	0	0
до2	- до2	0	0

с =

У результаті одержуємо схему, показану на мал. 4.

Таким чином, схема моделювання подвійного маятника складається із двох чисто коливальних ланок із близькими власними частотами до й vk (V =1+2 ), з'єднаних в "кільце". Ліва схема моделює коливання легкого маятника, права - важкого, взаємний вплив маятників ураховується зв'язками між схемами (коефіцієнти до² і ї² до²). Початкові умови, показані на схемі, означають, що в перший момент важкий маятник відхиляють від положення рівноваги й без поштовху відпускають, легкий маятник при цьому має нульові значення швидкості й координати.

Використовуючи схему мал. 4, легко одержати матриці опису подвійного маятника в просторі станів:

А =

1 0 0 0" 0 10 0.

т

Уведення вектора В = [0 0 0 1] дозволяє розглядати рух подвійного маятника при наявності керуючого впливу, прикладеного до нижнього маятника.

2. ЗАВДАННЯ ПО РОБОТІ Й ЗМІСТ ЗВІТУ

У лабораторній роботі здійснюється комп'ютерне моделювання подвійного маятника в пакетах SIMULINK і МАТЬАВ. Основою для моделювання є схема мал. 4 і опис у просторі станів. Чисельні значення параметрів подвійного маятника наведені в таблиці варіантів.

Звіт повинен містити:

• Теоретичний розв'язок системи рівнянь (8) при заданих значеннях k, /I для початкових умов х0) = 5; х₂ (0) = х₁ (0) = х₂ (0) = 0.

• Розрахунки чисельних значень параметрів Т, т, п, таблицю й графіки функцій х₁(), х₂(), графік фазової траєкторії х₂ = /(х₁); графіки повинні відбивати півтора - два періоди биттів.

• Матриці А, Ь, з опису системи в просторі станів у випадку додатка керуючого впливу до нижнього маятника й передатну функцію системи для цього випадку.

• Схему моделювання вихідної системи в SIMULINK і програму моделювання мовою МААБ.

3. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

• Виконати в пакеті SIMULINK роздільне моделювання коливальних ланок (маятників) (мал. 4), не з'єднуючи їх між собою. Ухвалюючи в = 1, установити нульові початкові умови. Подати на входи обох ланок одиничний вхідний сигнал і переконатися, що коливання на виходах ланок збігаються (півперіод коливань повинен рівнятися т = л/к).

• Відключити одиничний сигнал, з'єднати ланки між собою "у кільце", згідно мал. 4, установити початкові умови х₁(0) = 1. Спостерігати графіки сигналів х₁(), х₂(() і їх різниці. Зрівняти експериментальні оцінки величин Т, т, п з їхніми теоретичними значеннями.

• Виконати моделювання подвійного маятника в пакеті МАЕЬАВ, використовуючи опис у просторі станів і прийнявши V = буд. Спостерігати фазову траєкторію х₂ = В(х₁) (на екрані повинен бути видний ромб).

• Установити коефіцієнт V² = 1+2², спостерігати зміни фазового портрета ("перекіс" ромба).

• Знайти початкові умови, при яких обоє маятника гойдаються синхронно (синфазно й противофазно). Досліджувати поведінка подвійного маятника у випадку додатка керуючого впливу до нижнього маятника.

4. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

т_і

т2

1. Механічна система, що містить дві крапкові маси т₁, т₂ і три пружини (див. мал. 5) робить коливання.

р2

Рис. 5. Двухмассовая система із закріпленими кінцями

Потрібно, використовуючи закон збереження енергії, знайти диференціальне рівняння малих коливань, визначити циклічні частоти й скласти схему моделювання. Прийняти т₁= т₂=1, до =1, тертям зневажити. Для визначення потенційної енергії стислої пружини використовувати формулу Е_П = кх².

2. Дві маси, з'єднані пружиною, лежать на полірований- ^т1 до ^т2

ном столі (мал. 6). Їх притискають друг до друга й відпускають. Скласти диференціальне рівняння й досліджувати рух такої системи, уважаючись т₁= т₂ = т, до = 1. / /

Рис. 6. Двухмассовая система з вільними кінцями

Тертям зневажити.

• Який вид прийме теоретичний розв'язок (і0) у випадку V² і?

kз

• Знайти вид теоретичного розв'язку й графік фазового портрета рівнянь (9) при наступних значеннях початкових умов:

I -1

а) Х(0)

б) Х(0)

в) Х(0) =

• Які умови треба виконати, щоб забезпечити коливання подвійного маятника з першою циклічною частотою? Із другою циклічною частотою?

• При з'єднанні схем моделювання, показаних на мал.4, між ними помилково включили інвертор. Знайти вид сигналу х₁ у цьому випадку, якщо / = 0,1, до = 1, в= 1.

• Вивести рівняння (8) за допомогою другого закону Ньютона.