Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения дает исчерпывающую характеристику случайной величины. Она задается графически или аналитически. Но ни график, ни формула не являются удобными для действий с величинами. Поэтому для их описания используют числовые характеристики. Обычно вполне достаточными являются две из них: математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание представляет собой центр, вокруг которого группируются все вероятные значения случайной величины. Для дискретных величин оно может быть подсчитано как сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности:
.
Для непрерывных величин суммирование заменяется интегрированием, а математическое ожидание определяется формулой
.
Второй числовой характеристикой случайной величины является дисперсия D[Х]. По аналогии с физическим явлением (дисперсией света) дисперсия случайной величины представляет собой ее рассеяние вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем больше рассеяния по числовой оси значений случайной величины.
Введем понятие центрированной случайной величины. Это разность между конкретным значением и математическим ожиданием случайной величины: х – М [Х]. Дисперсию можно представить, как математическое ожидание квадрата центрированной величины:
.
Для дискретных величин дисперсия может быть подсчитана по формуле
.
Для непрерывных величин дисперсия определяется по формуле
.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Удобнее характеризовать разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина. Поэтому от дисперсии переходят к среднему квадратическому отклонению
.
И математическое ожидание, и дисперсия, и среднее квадратическое отклонение, как и сама вероятность, могут определяться из опыта и имеют свои статистические аналоги.
Основные законы распределения случайных величин
Функции f (x), описывающие плотность распределения, могут быть различными. Рассмотрим те из них, которые часто встречаются в судовождении.
Равномерное распределение
При равномерном распределении все значения случайной величины равновероятны. Примером такого распределения может служить погрешность при округлении какого-либо числа. Графически равномерное распределение показано на рис. 3.3. Аналитически равномерное распределение представлено формулой
f (x) = const.
Так как площадь под кривой должна быть равной 1, то случайная величина распределяется на ограниченном интервале от до β. Вне этого интервала f (x) = 0.
На рис. 3.3 видно, что площадь под кривой равна произведению f (x) на (β - ). Следовательно, f (x)· (β - ) = 1. Откуда
.
Закон равномерного распределения.
Найдем числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины. Математическое ожидание запишем на основании и :
.
После преобразований получим
.
Для определения дисперсии подставим выражения математического ожидания и плотности распределения в формулу :
.
После преобразований получим
Как уже говорилось, закон равномерной плотности справедлив при округлении чисел. Интервал, на котором распределены погрешности округления в 0,1 единицы последнего знака, заключен от = − 0,5 до β = +0,5 этого знака. Подставив эти значения и в и , получим значения для математического ожидания и дисперсии:
или
=
0,29 единицы последнего знака.
Нормальный закон
Если на случайную величину действует множество причин, ни одна из которых не преобладает, то ее распределение подчиняется нормальному закону. Это наиболее часто встречающийся закон. Он описывает огромное количество самых различных случайных величин, в том числе все измерения. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться им при обработке наблюдений.
Нормальный закон представлен графически на рис. 3.4 и аналитически формулой
.
где
х
− математическое ожидание случайной
величины;
σ х − ее среднее квадратическое отклонение.
Нормальный закон распределения.
Анализируя формулу , видим, что
плотность распределения максимальна,
при показателе степени е равном
0, т.е. когда х =
х,.
Математическое ожидание является
наиболее вероятным значением и определяет
центр кривой.
Если в подставить х = х,,
получим максимальное значение плотности
вероятности, равное 1/σх
.
Эта величина определяет высоту кривой.
Чем больше σ х , тем ниже
максимум кривой, но так как площадь под
кривой всегда равна 1, она становится
более пологой, увеличивается вероятность
больших отклонений. Таким образом,
х
характеризует разброс случайной
величины вокруг математического
ожидания.
Чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от до β, надо в формулу подставить значение плотности вероятности из :
.
Численные методы интегрирования выражения для некоторых характерных интервалов дают следующие вероятности: 0,683 для ± σ; 0,954 для ± 2σ; 0,997 для ± 3σ.
Значения вероятностей (например, 0,683) можно понимать двояко: либо, что указанный интервал содержит 68,3% всех возможных значений случайной величины, либо, что любое значение попадает в этот интервал с вероятностью 68,3%.
Если в формуле принять
=
0 и
,
получим функцию Лапласа:
.
По формуле рассчитана таблица значений вероятности, с помощью которой можно рассчитать вероятность нахождения случайной величины в любом интервале. Функция Лапласа приводится во многих таблицах и пособиях, в том числе и в Мореходных таблицах.
Смешанные распределения.
В обоих рассмотренных выше распределениях параметр σ (среднее квадратическое отклонение) предполагался величиной постоянной. Если же σ является случайной величиной со своим законом распределения f(σ), то распределение f (х) называют смешанным распределением.
Вид смешанного распределения зависит от вида f (σ). Наибольший интерес в судовождении представляет вид f (σ), по которому распределяется среднее квадратическое отклонение погрешностей измерения случайной величины. Результаты обработки больших серий спутниковых обсерваций дали основание считать, что f (σ) имеет вид распределения Релея:
,
где
− характеристика рассеяния σ вокруг
некоего среднего значения
':
.
В этом случае f (х) описывается двусторонним распределением Лапласа:
.
В числителе показателя степени е стоит модуль случайной величины.
В.Т. Кондрашихин, обработав серии астрономических наблюдений, пришел к выводу, что σ распределяется по логнормальному закону, когда по нормальному закону распределяется не сама величина х, а ее логарифм
.
В том случае смешанное распределение в элементарных функциях не выражается. На больших отклонениях от математического ожидания, (а именно они рассматриваются при оценке навигационной безопасности) оба смешанных распределения дают хорошее согласие. Поэтому используется более простая формула .