7. Обработка избыточной информации при определении места судна

1. Использование избыточной информации при определении места судна

7. Б

В предыдущих разделах рассматривалось определение места судна по двум изолиниям или линиям положения. Двум линиям положения соответствуют два уравнения с двумя неизвестными, система которых однозначно решается и дает единственную обсервованную точку. Число уравнений, равное числу неизвестных, называется необходимым и достаточным. Все дополнительные линии положения и соответствующие им уравнения называются избыточными.

Если измеряются три и более навигационных параметра, возникает система трех и более уравнений с двумя неизвестными. Наличие случайных погрешностей в измерениях делает такую систему несовместной, т.е. нет такого решения, которое удовлетворяло бы всем уравнениям.

При графическом построении возникает три и более точек пересечения (обсервованных мест). Необходимо выбрать одно, наиболее вероятное место с учетом всех полученных точек. Применительно к системе уравнений линий положения необходимо найти такое решение, которое наилучшим образом удовлетворяло бы всем исходным уравнениям.

Термин «наилучшим образом» означает решение, обладающее наибольшей плотностью вероятности (принцип максимального правдоподобия). Метод определения неизвестных, основанный на этом условии, называется методом наименьшей квадратической формы или обобщенным методом наименьших квадратов.

Все сказанное выше относится не только к линиям положения, но и любому количеству неизвестных, связанному любыми зависимостями. Так как наибольший интерес этот метод представляет для определения места судна при избыточных линиях положения, рассмотрим его применение для нахождения двух неизвестных, связанных линейной зависимостью.

Обозначим искомые Δφ и Δω уравнения линии положения через х и у . Положим также: cos τ = а , sin τ = b, р = l. Тогда уравнение линии положения примет вид

а х + b у = l.

При избыточных измерениях l имеем несовместную систему п (п  2) уравнений вида с двумя неизвестными:

Чтобы привести в согласие систему , надо из результатов измерений вычесть содержащиеся в них полные погрешности V_i . В результате получаем систему уравнений погрешностей или уравнений невязок:

Подставляя выражения невязок из в формулу , получим условие для нахождения наиболее вероятных значений х и у:

.

Здесь c_ij − элементы матрицы, определяемые по формуле , в которой под т подразумевается СКП линии положения.

Вид функции F называется квадратичной формой, а решение, удовлетворяющее этому условию, – методом наименьшей квадратичной формы (или обобщенным методом наименьших квадратов). Чтобы получить минимум функции F, надо ее производные по обеим переменным приравнять к нулю:

Продифференцируем вначале выражение по х и приравняем к нулю, а затем по у. После преобразований найдем:

Полученные уравнения называются нормальными уравнениями. Суммы произведений, стоящие в левой части в , называются коэффициентами нормальных уравнений, а стоящие в правой части − свободными членами.

Так как приравниваются нулю производные по всем переменным, которые отыскиваются, число нормальных уравнений всегда равно числу неизвестных и система нормальных уравнений всегда однозначно решается.

Примем следующие обозначения для коэффициентов:

Тогда система нормальных уравнений примет вид

Систему решим методом определителей:

Система нормальных уравнений относится к наиболее общему случаю, когда уравнения линий положения зависимые и неравноточные. Для независимых исходных уравнений квадратичная форма заменяется суммой квадратов:

,

а сам метод решения называется методом наименьших квадратов.

В этом случае система нормальных уравнений принимает вид

где р – веса линий положения.

Идею минимизировать сумму квадратов отклонений предложил Лежандр, а разработал и обосновал метод наименьших квадратов Гаусс, который предложил суммы обозначать квадратными скобками, чтобы не использовать верхние и нижние индексы. В обозначениях Гаусса нормальные уравнения выглядят так:

В квадратные скобки означают суммирование по всем i.

Рассмотрим оценку точности обсервованного места в методе наименьших квадратов.

Параметры среднего эллипса погрешностей рассчитываются с помощью коэффициентов нормальных уравнений

.

СКП обсервованного места определяется по формуле

.

Формулами и можно пользоваться, если число линий положения больше 4. Если число линий меньше 5, надо пользоваться более простыми формулами:

Если линии положения равноточные (например, уравнения высотных линий положения), веса принимаются равные 1 и формулы , и упрощаются.

где .

Системы и решаются как обычно.