1. Вспомогательные сведения из математики

1. брол

абан

1. Некоторые правила и приемы приближенных вычислений

Во многих научных и инженерных задачах из-за сложности, а часто и невозможности точных решений применяются приближенные методы решения, к которым относятся: приближенное решение урав­нений, интерполяция, вычисление функций одного или нескольких переменных с помощью рядов, приближенное вычисление интегра­лов и др.

Ошибки арифметических действий с приближенными числами. Главным требованием к приближенным расчетам является соблю­дение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как уве­личение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности. Ошибки, получающиеся при вычислениях и округлении чисел, разделяются на абсолютные и относительные. Абсолютной ошибкой приближенного числа называется абсолют­ная величина разности между приближенным а и точным А значе­ниями числа:

.

Как правило, абсолютная ошибка _а неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки

,

где _{а пред} - предельная ошибка, задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.

Относительной ошибкой числа а называется отношение его абсолютной ошибки _а к абсолютной величине числа а:

.

Относительную ошибку также часто выражают в процентах:

Характеристика точности результатов с помощью относительной ошибки применяется во многих технических расчетах. Важным ее свойством является то, что величина этой ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки.

При операциях с приближенными числами ошибки результатов зависят от ошибок самих чисел. Далее рассмотрим закономерности изменения ошибок вычислений при различных арифметических действиях.

Ошибки суммы. Абсолютная ошибка суммы равна сумме абсолютных ошибок слагаемых:

.

Относительная ошибка суммы имеет величину

.

Она заключена между минимальной и максимальной относительными ошибками слагаемых.

Ошибка разности. Абсолютная ошибка разности двух чисел равна суме абсолютных ошибок уменьшаемого и вычитаемого:

.

Относительная ошибка разности определяется из выражения

.

Необходимо отметить, что когда значения а₁ и а₂ близки по величине, знаменатель выражения будет стремиться к нулю и ошибка _р может оказаться неправдоподобно большой. В этом случае как _р следует принять большую из относительных ошибок вычитаемого и уменьшаемого.

Ошибки произведения. Абсолютная ошибка произведения _пр равна его относительной ошибке _пр, умноженной на само произведение:

.

Относительная ошибка произведения определяется как сумма относительных ошибок сомножителей:

.

Из формул и следует, что при умножении приближенного числа а на число N, свободное от ошибок, абсолютная ошибка _пр возрастает в N раз, а относительная ошибка не изменяется. Действительно, если r = aN (_N = 0 и _N = 0), то _пр = _а.

А так как , получаем .

Ошибки частного. Абсолютная ошибка частного _ч равна произведению относительной ошибки _ч частного на его величину:

.

Относительная ошибка частного равна сумме относительных ошибок делимого и делителя:

.

Частное вида , где N – безошибочное число, имеет абсолютную ошибку, в N раз меньшую, чем ошибка _а: .

Ошибки степени. Если приближенное число а возводится в n-ю степень, то абсолютная ошибка степени _ст равна относительной ошибке _а числа, умноженной на произведение степени аⁿ на ее показатель n:

.

Относительная ошибка степени вычисляется по формуле

.

Ошибки корня. Абсолютная ошибка корня приближенного числа а равна произведению относительной ошибки _а числа на корень этого числа, деленный на показатель n:

.

Приведенные выше формулы составлены так, что при вычисле­ниях по ним, как правило, происходит накопление ошибок, в то время как фактически в процессе расчетов ошибки приближенных чисел в значительной степени компенсируются.

Обычно ошибки промежуточных результатов не подсчитываются. Чтобы обеспечить достаточную точность конечного результата, рекомендуется придерживаться следующих правил подсчета необ­ходимого количества знаков.

• При сложении и вычитании приближенных чисел результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько их имеет число с наименьшим количеством таких знаков.

• При умножении и делении приближенных чисел результат должен состоять из стольких значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством таких цифр.

• При возведении приближенного числа в степень должно быть сохранено такое количество значащих цифр, какое их имеет возводимое в степень число.

• При извлечении корня резуль­тат должен быть выражен таким количеством значащих цифр, сколь­ко их в подкоренном числе.

Лишние знаки числа исключаются путем округления. Его про­изводят по правилам, называемым правилами дополнения:

• когда первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, последнюю из оставляемых цифр не изменяют: 2,39724  2,3972;

• когда первая отбрасываемая цифра больше пяти, последний со­храняемый знак числа увеличивают на единицу: 0,09186  0,0919;

• когда первая отбрасываемая цифра равна пяти, а последующие знаки — нули, то последнюю оставляемую цифру не изменяют, если она выражает четное число, и увеличивают на единицу, если — не­четное (округление до четного числа): 513,0250  513,02; 78,2350  78,24;

• при наличии после отбрасываемой пятерки значащих цифр, отличных от нуля, последнюю из оставляемых цифр следует увели­чить на единицу: 8419,3853  8419,39.

Соблюдение правил дополнения обеспечивает округление чисел с ошибкой, не превышающей 0,5 единицы разряда последнего остав­ляемого в числе знака. Ошибка эта имеет положительный знак при округлении с избытком и отрицательный — при округлении с не­достатком.

В ходе вычислений округление промежуточных результатов надо выполнять, сохраняя вместе с верными одну сомнительную цифру. Но конечный результат округляется так, чтобы все цифры числа были верными.