Упражнения 3.6,а

1. Определите решение, определяемое седловой точкой, соответствующие чистые стратегии и цену игры для следующих игр, в которых платежи заданы для игрока А.

а)

	B1	B2	B3	B4
A1	8	6	2	8
A2	8	9	4	5
A3	7	5	3	5

b)

	B1	B2	B3	B4
A1	4	–4	–5	6
A2	–3	–4	–9	–2
A3	6	7	–8	–9
A4	7	3	–9	5

2. В следующих играх заданы платежи игроку А. Укажите область значений для параметров р и q, при которых пара (2, 2) будет седловой точкой в каждой игре.

а)

	B1	B2	B3
A1	1	q	6
A2	p	5	10
A3	6	2	3

b)

	B1	B2	B3
A1	2	4	5
A2	10	7	q
A3	4	p	6

3. Укажите область, которой принадлежит цена игры в каждом из следующих случаев, предполагая, что платежи заданы для игрока A.

а)

	B1	B2	B3	B4
A1	1	9	6	0
A2	2	3	8	4
A3	–5	–2	10	–3
A4	7	4	–2	–5

b)

	B1	B2	B3	B4
A1	–1	9	6	8
A2	–2	10	4	6
A3	5	3	0	7
A4	7	–2	8	4

c)

	B1	B2	B3
A1	3	6	1
A2	5	2	3
A3	4	2	–5

d)

	B1	B2	B3	B4
A1	3	7	1	3
A2	4	8	0	–6
A3	6	–9	–2	4

4. Две фирмы производят два конкурирующих товара. Каждый товар в настоящее время контролирует 50% рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если они не будут этого делать, то существующее состояние рынка не изменится. Однако если какая-либо фирма будет более активно рекламировать свои товары, то другая фирма потеряет соответствующий процент своих потребителей. Исследование рынка показывает, что 50% потенциальных потребителей получают информацию посредством телевидения 30% – через газеты и 20% – посредством радио.

а) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и выберите подходящие средства рекламы для каждой фирмы.

b) Укажите интервал значений, которому принадлежит цена игры. Может ли каждая фирма действовать с единственной чистой стратегией?

5. Пусть a_ij – (i, j)-й элемент платежной матрицы с m стратегиями игрока A и n стратегиями игрока В. Элементы платежной матрицы представляют собой платежи игроку А. Докажите, что

.