Несколько слов в заключение
В рассмотренных примерах основное внимание было; уделено описанию процесса нормализации позиционной игры — построению дерева игры и информационных множеств, выработке стратегий игроков и вычислению элементов платежной матрицы. Следующий естественный шаг — отыскание цены игры и оптимальных стратегий игроков — проводится методами, о которых рассказывалось в главе, посвященной матричным играм.
Мы достаточно подробно остановились на позиционных играх двух лиц, где был: явно выражены интересы одного из игроков (игрока А). Следует, однако, иметь в вид] что в одних случаях интересы игрока В могут быть полностью противоположным интересам игрока А, в то время как в других вполне может оказаться, что то, что хорошо для одного игрока, не обязательно плохо для другого. Приведем два простых примера.
Пример А.
1-й ход. Игрок А выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.
2-й ход. Игрок В выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная выбор числа х игроком А.
Функции выплат игрокам А и В — WA(x, у) и WB(x, у) соответственно — задаются так:
WA (1, 1) = 1, WA (1, 2) = -1, WA (2, 1) = -2, WA (2, 2) = 2,
WB (1, 1) = 2, WB (1, 2)= 1, WB (2, 1) = 1, WB (2, 2) = 2.
Дерево игры показано на рис. 12. Исход игры зависит от того, каковы намерения игрока В — максимизировать свой выигрыш:
WB(x, у) → max,
или максимизировать свой относительный выигрыш:
WB(x, у) WA(x, у)- , у) → max.
В первом Случав это достигается так:
При x = 1 у = 1 и WB(1, 1) = 2 (WA (1, 1) = 1);
При x = 2 у = 2 и WB (2, 2) = 2 (WA (2, 2) = 2).
Во втором случае:
При x = 1 у = 2 и WB(1, 2) - WA (1, 2) = 1 – (-1) = 2);
При x = 2 у = 1 и WB (2, 1) - WA (2, 1) = 1 – (-2) = 3).
Рис.12 Рис. 13
Пример Б. Игра задается деревом (см. рис. 13).
1-й ход. Игрок А выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.
Если х = 1, то каждый из игроков получает свой выигрыш, равный 2.
Если х = 2, то право 2-го хода получает игрок В, где он и выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}.
При у = 1 выигрыш игрока А равен 1, а игрока В — 4. При у = 2 оба игрока получают поровну — по 3.
В случае, когда каждый из игроков стремится к получению максимального выигрыша и любые виды кооперации запрещены, исход игры ясен — игрок А выбирает х = 1, и игра заканчивается. Но при х =2 и у = 2 каждый из игроков получает по 3 (такой исход предпочтительнее простейшего (1, 1)), и, если допустить соглашение между игроками, это обстоятельство вполне может изменить исход игры.
3.6 Принятие решений и теория игр. Примеры.
В теории игр рассматриваются ситуации, связанные с принятием решений, в которых два разумных противника имеют конфликтующие цели. К числу типичных примеров относится рекламирование конкурирующих товаров и планирование военных стратегий противоборствующих армий. Эти ситуации принятия решений отличаются от рассмотренных ранее, где природа не рассматривается в роли недоброжелателя.
В игровом конфликте участвуют два противника, именуемые игроками, каждый из которых имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, которые называются стратегиями. С каждой парой стратегий связан платеж, который один из игроков выплачивает другому. Такие игры известны как игры двух лиц с нулевой суммой, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В такой игре достаточно задать результаты в виде платежей для одного из игроков. При обозначении игроков через А и В с числом стратегий m и n соответственно, игру обычно представляют в виде матрицы платежей игроку А:
|
B1 |
B2 |
… |
Bn |
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
Am |
am1 |
am2 |
… |
amn |
Такое представление матричной игры означает, что если игрок А использует стратегию i, а игрок В — стратегию j, то платеж игроку А составляет аij и, следовательно, игроку В — – аij.