Часть I матричные игры 59

1. Равновесная ситуация 60

2. Смешанные стратегии 65

Основные определения 65

Основная теорема матричных игр 68

Основные свойства оптимальных смешанных стратегий 68

3. Методы решения матричных игр 69

Итерационный метод решения матричных игр 77

Сведение матричной игры к задаче линейного программирования 79

4. Примеры задач, сводимых к матричным играм 82

Несколько слов в заключение 84

6. О классификации игр 85

Часть II позиционные игры 86

1. Структура позиционной игры 86

2. Нормализация позиционной игры 88

3. Позиционные игры с полной информацией 97

Несколько слов в заключение 100

3.6 Принятие решений и теория игр. Примеры. 101

3.6.1. Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой 102

Упражнения 3.6,а 103

3.6.2. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 105

Упражнения 3.6,b 107

Упражнений 3.6,с 110

3.7. Заключение 111

Литература 112

Комплексные задачи 112

Часть I матричные игры

Рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока, причем каждый из игроков имеет конечное число стратегий. Обозначим для удобства одного из игроков через А, в другого — через В.

Предположим, что игрок А имеет m стратегий — А₁, А₂, ..., А_m, а игрок В имеет n стратегий В₁, В₂, ..., В_n.

Пусть игрок А выбрал стратегию A_i, а игрок В стратегию В_k. Будем считать, что выбор игроками стратегий A_i и В_k однозначно определяет исход игры — выигрыш а_ik игрока А и выигрыш b_ik игрока В, причем эти выигрыши связаны равенством

(отрицательный выигрыш на бытовом языке обычно называют проигрышем).

Последнее условие показывает, что в рассматриваемых обстоятельствах выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого, взятому с противоположным знаком. Поэтому при анализе такой игры можно рассматривать выигрыши только одного из игроков. Пусть это будут, например, выигрыши игрока А.

Если нам известны значения а_ik выигрыша при каждой паре стратегий (в каждой ситуации) { A_i, В_k }, i = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n, то их удобно записывать или в виде прямоугольной таблицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В:

	В1	В1	…	Вn
А1	a11	a11		a11
А2	a11	a11		a11
Аm	am1	a11		amn

или в виде матрицы

Полученная матрица имеет размер m x n и называется матрицей игры, или платежной матрицей (отсюда и название игры — матричная).

Рассматриваемую игру часто называют игрой m x n или m x n игрой.

Замечание. Матричные игры относятся к разряду так называемых антагонистических игр, то есть игр, в которых интересы игроков прямо противоположны.

Пример 1. Каждый из двух игроков А и В одновременно и независимо друг от друга записывает на листе бумаги любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую четность, то игрок А получает от игрока В 1 рубль, а если разную, то наоборот – игрок А платит 1 рубль игроку В.

У игрока А две стратегии: А₁ – записать четное число и А₂ – записать нечетное число. У игро­ка В такие же две стратегии: В₁ – записать четное число и В₂ – записать нечетное число. Выбор игроками соответственно стратегий А_i и В_k однозначно определяет исход игры – выигрыш игрока А.

Матрица этой 2x2 игры имеет следующий вид

(здесь строки соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В).