©2005 Г., а.В. Коротков Вращения в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два

Линейное преобразование х′=Ах с вещественной матрицей

	a11	a12	a13
A=	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет условию

A = A=I,

где черточка обозначает операцию

= GA^ТG,

индекс T – операцию транспонирования, G – метрический тензор,

	-α	0	0
G=	0	-β	0
	0	0	αβ	,

причем a,β=±1, так что G=G^T, G²=I и

	a11	αβa21	-βa31
=GATG=	αβa12	a22	-αa32
	-βa13	-αa23	a33	.

Очевидно, что

=G(AB)^TG=G(B^TA^T)G=(GB^TG)(GA^TG)= ,

и = =G(GА^ТG)^TG=GGAGG=A.

Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом векторном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразование является собственным вращением, если оно сохраняет также векторное произведение двух векторов и det ||A||=1. Преобразование с det ||A||= -1 является несобственным вращением или вращением с отражением.

Пусть е₁, е₂, е₃ – любой ортонормированный базис, и пусть

х=х¹е₁+х²е₂+х³е₃ и х′=х¹′е₁+х²′е₂+х³′е₃.

Каждое преобразование вращения задается формулами

х¹′= a₁₁ х¹+a₁₂ х² +a₁₃х³,

х²′= a₂₁ х¹+a₂₂ х²+a₂₃х³,

х³′= a₃₁ х¹+a₃₂ х²+a₃₃х³

или в матричной форме

Х′= AХ,

где для собственных вращений det(A)=1.

Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, определяется системой равенств

	а11а11+αβа12а12-βа13а13	αβа11а21+а12а22-αа13а23	-βа11а31-αа12а32+ а13а33
А =	а21а11+αβа22а12-βа23а13	αβа21а21+а22а22-αа23а23	-βа21а31-αа22а32+ а23а33	=I
	а31а11+αβа32а12-βа33а13	αβа31а21+а32а22-αа33а23	-βа31а31-αа32а32+ а33а33

или, что равносильно,

	а11а11+αβа21а21-βа31а31	а11а12+αβа21а22-βа31а32	а11а13+αβа21а23- βа31а33
А=	αβа12а11+ а22а21-αа32а31	αβа12а12+ а22а22-αа32а32	αβа12а13+ а22а23- αа32а33	=I.
	-βа13а11- αа23а21+ а33а31	-βа13а12- αа23а22+ а33а32	-βа13а13- αа23а23+ а33а33

Любые три из коэффициентов а_ik определяют все остальные. Геометрически коэффициент а_ik определяет угол между базисным вектором e_i и повернутым базисным вектором

e_k′=Ae_k= а_jke_j,

а_ik=(e_i e_k′).

Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота δ вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота δ, а также направляющие углы положительной оси вращения определяются формулами

Chδ= (Tr (A)-1)= (a₁₁+ a₂₂+ a₃₃-1)=2λ₀²-1

αа₂₃+ а₃₂=2с₁Shδ=4λ₁λ₀,

-а₃₁-βа₁₃=2с₂Shδ=4λ₂λ₀,

βа₁₂-αа₂₁=2с₃Shδ=4λ₃λ₀.

Либо знак угла δ, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно.

Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами δ, с₁, с₂,…, с₇, есть

	-αс1с1	-βс1с2	αβс1с3
	-αс2с1	-βс2с2	αβс2с3	+
	-αс3с1	-βс3с2	αβс3с3

	0	βс3	-βс2
+Shδ	-αс3	0	αс1	.
	-с2	с1	0

Четыре симметричных параметра (Эйлера)

λ₀ , λ₁ , λ₂ , λ₃ ,

λ₀²-αλ₁²-βλ₂²+αβλ₃²=1

-αс₁²-βс₂²+αβс₃²= -1

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

	-α(λ1λ1- αλ0λ0)	-β(λ1λ2- λ3λ0)	αβ(λ1λ3- αλ2λ0)
А= -I+2*	-α(λ2λ1+ λ3λ0)	-β(λ2λ2- βλ0λ0)	αβ(λ2λ3+ βλ1λ0)	.
	-α(λ3λ1+αλ2λ0)	-β(λ3λ2- βλ1λ0)	αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)

При этом

	-α(λ1λ1- αλ0λ0)	-β(λ1λ2+ λ3λ0)	αβ(λ1λ3+ αλ2λ0)
= -I+2*	-α(λ2λ1- λ3λ0)	-β(λ2λ2- βλ0λ0)	αβ(λ2λ3- βλ1λ0)	.
	-α(λ3λ1- αλ2λ0)	-β(λ3λ2+βλ1λ0)	αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)

Будем считать для определенности α=β=1. В принятом предположении

Chδ= (Tr (A)-1)= (a₁₁+ a₂₂+ a₃₃-1)=2λ₀²-1

βа₂₃+ а₃₂=2с₁Shδ=4λ₁λ₀,

-а₃₁-βа₁₃=2с₂Shδ=4λ₂λ₀,

βа₁₂-βа₂₁=2с₃Shδ=4λ₃λ₀.

	-βс1с1	-βс1с2	с1с3		0	βс3	-βс2
	-βс2с1	-βс2с2	с2с3	+Shδ	-βс3	0	βс1	.
	-βс3с1	-βс3с2	с3с3		-с2	с1	0

Четыре симмметричных параметра (Эйлера)

λ₀²-λ₁²-βλ₂²+λ₃²=1,

-βс₁²-βс₂²+с₃² = -1,

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

	-β(λ1λ1- βλ0λ0)	-β(λ1λ2- λ3λ0)	λ1λ3 -βλ2λ0
	-β(λ2λ1+ λ3λ0)	-β(λ2λ2-βλ0λ0)	λ2λ3+βλ1λ0
	-β(λ3λ1+βλ2λ0)	-β(λ3λ2-βλ1λ0)	λ3λ3+ λ0λ0	,

при этом

	-β(λ1λ1- βλ0λ0)	-β(λ1λ2+ λ3λ0)	λ1λ3+βλ2λ0
= -I+2*	-β(λ2λ - λ3λ0)	-β(λ2λ2- βλ0λ0)	λ2λ3- βλ1λ0
	-β(λ3λ1-βλ2λ0)	-β(λ3λ2+βλ1λ0)	λ3λ3+ λ0λ0	,

а параметры λ₀, λ₁, λ₂, λ₃ и –λ₀, –λ₁, –λ₂, – λ₃ представляют одно и то же вращение.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

	1	0	0
А1(φ)=	0	Chφ	βShφ
	0	Shφ	Chφ

	Chφ	0	-βShφ
А2(φ)=	0	1	0
	-Shφ	0	Chφ

	cosφ	βsinφ	0
А3(φ)=	-βsinφ	cosφ	0
	0	0	1	.

Заметим, что

А_i(-φ), i= 1, 2, 3.

Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц

в частности, так:

А=A₃(φ₁)A₂(φ₂)A₃(φ₃)=

	cosφ1	βsinφ1	0		Chφ2	0	-βShφ2		cosφ3	βsinφ3	0
=	-βsinφ1	cosφ1	0	*	0	1	0	*	-βsinφ3	cosφ3	0	=
	0	0	1		-Shφ2	0	Chφ2		0	0	1

	cosφ1Chφ2cosφ3 - sinφ1sinφ3	βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3	-βcosφ1Shφ2
=	-βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3	-sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3	sinφ1Shφ2	.
	-Shφ2cosφ3	-βShφ2sinφ3	Chφ2

Три угла (Эйлера) φ₁, φ₂, φ₃,однозначно определяют вращение; в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исключением случая, когда φ₂=0 (карданов подвес).

Обратное вращение А^-1= (переводящее вектор х′ в исходный вектор х) представляется матрицей

=A₃(-φ₃)A₂(-φ₂)A₃(-φ₁)=

	cosφ1Chφ2cosφ3- sinφ1sinφ3	-βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3	βShφ2cosφ3
=	βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3	-sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3	Shφ2sinφ3	….
	cosφ1Shφ2	-βsinφ1Shφ2	Chφ2

Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частности, так:

	1	0	0		Chφ2	0	-βShφ2		cosφ3	βsinφ3	0
A=A1(φ1) A2(φ2) A3(φ3)=	0	Chφ1	βShφ1		0	1	0		-βsinφ3	cosφ3	0	=
	0	Shφ1	Chφ1		-Shφ2	0	Chφ2		0	0	1

	Chφ2cosφ3	-βChφ2sinφ3	-βShφ2
=	-βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3	-Shφ1Shφ2sinφ3+Chφ1cosφ3	βShφ1Chφ2
	-Chφ1Shφ2cosφ3-βShφ1sinφ3	-βChφ1Shφ2sinφ3+Shφ1cosφ3	Chφ1Chφ2

при =A₃(-φ₃) A₂(-φ₂) A₁(-φ₁)=

	Chφ2cosφ3	-βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3	βChφ1Shφ2cosφ3+ Shφ1sinφ3
=	-βChφ2sinφ3	-Shφ1Shφ2sinφ3+ Chφ1cosφ3	Chφ1Shφ2sinφ3-βShφ1cosφ3	.
	Shφ2	-Shφ1Chφ2	Chφ1Chφ2