20.Найти точки, в которых функция стационарна (т.Е. Точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

Чтобы в некоторой точке P производная функции по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нули. Согласно формуле:

, где - нормальный вектор к поверхности уровня, - единичный вектор направления .

Поэтому, найдя частные производные:

, и решая систему уравнений:

или получим две точки: (-3;1) и (1;-1), функция стационарна.

21. Найти вихревой вектор (rot) в любой точке векторного поля: 1) ; 2) .

См. формулу 2 вопрос 17. Ответ: 1) ; 2) ; - потенциальное поле (безвихревое).

22. Проверить, что векторное поле вектора является гармоническим.

См. вопрос 17.

23. Найти линии уровня скалярного поля соответствующие значениям z=-2,-1,0,1,2. См. вопрос 8. Найти градиент этого поля в точках A(1;-1) и B(-2;-2).

Ответ:

24. Теорема Умова-Пойнтинга.

Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории Электромагнитного поля имеет теорема Умова-Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле.

Н.А. Умов с 1893 по 1911г. являлся профессором московского университета. В 1874г. защитил докторскую диссертацию «О движении Энергии в упругих средах», где рассмотрел вопрос о потоке энергии в упругих средах и о плотности потока энергии. Применительно к электромагнитному полю понятие о потоке энергии было развито Пойнтингом в 1885г.

Энергия электрического поля в единице объема равна , соответственно энергия магнитного поля в единице объема . Энергия в объеме равна .

Можно показать, что , где - векторное произведение на , для сокращения записи примем ; - это вектор, называемый вектором Пойнтинга; размерность его равна произведению размерностей E и H, т.е. .

Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности, отнесенной к единице поверхности и направление его совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кротчайшему направлению от к . Следовательно:

(1), где - удельная проводимость ; - энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени; - скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема, в свою очередь скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность.

Рассмотрим (1) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (1) по объему V:

(2)

Можно показать, что:

(3)

Формула (3) представляет собой теорему Умова-Пойнтинга для мгновенных значений. представляет собой поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V.

Т.к. есть скорость изменения электромагнитной энергии, т.е. мощность, следовательно поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен мощности, выделяющейся на приращение энергии электромагнитного поля.

Теорему Умова-Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса.

Левая часть уравнения (3) есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема V.

Уравнение (3) было получено при условии, что среда внутри объема V однородна и изотропна- одинаковость (изотропия гр. tropos- поворот, направление) физ. свойств тела (среды) по всем направлениям. При обычных условиях газы, жидкости и аморфные тела изотропны, - а так же в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы. Если поле не изменяется во времени, то и

Следует также учесть, что уравнение (3) учитывает возможность прохождения потока вектора транзитом через объем V.

25. Показать справедливость утверждения, что электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту ее потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток и организаторами структуры поля в диэлектрике).

Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (см. рисунок). Радиус жилы: , внутренний радиус оболочки: .

Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой, что напряженности поля в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.

Убедимся, что энергия, передаваемая в единицу времени, равная , действительно канализируется по диэлектрику.

С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом и наружным . Напряженность магнитного поля в диэлектрике по закону полного тока: . Напряженность электрического поля в диэлектрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики: ,

где Q- полный заряд жилы на длине l; U- напряжение между жилой и оболочкой.

Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной на расстоянии r от оси( )

( и взаимно перпендикулярны).

Поток вектора Пойнтинга через кольцо с радиусами и :

Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия к приемнику не передается. Более того, если учесть, что конечна и напряженность электрического поля в жиле и оболочке направлена по току и неравна нулю, то не трудно убедиться в наличии потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность провода внутрь провода, т.е. провода сами потребляют энергию на покрытие тепловых потерь.

26. Определить , составляемого напряженность электрического поля с нормалью к поверхности жилы в точке, принадлежащей поверхности жилы коаксиального кабеля, а также подсчитать величину поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность жилы на длине в 1м. и сопоставить величину потока вектора Пойнтинга с потерями энергии в жиле на длине в 1м. Радиус медной жилы ; внутренний радиус оболочки . Протекающий по кабелю постоянный ток J=50A. Напряжение между жилой и оболочкой U=10kB.

Нормальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности жилы:

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности жилы по закону Ома:

Вектор напряженности электрического поля составляет с нормалью к поверхности жилы угол , тангенс которого:

Напряженность магнитного поля на поверхности жилы по закону полного тока:

Для определения величины потока вектора Пойнтинга внутрь жилы на длине в 1м следует умножить составляющую вектора Пойнтинга , проникающую внутрь жилы, на величину боковой поверхности жилы на длине в 1м, т.е.:

Эта величина равна потерям энергии в жиле кабеля на длине в 1м, т.е.:

ч.т.д.