13 Найти дивергенцию векторного поля:

1) ; 2) ; 3) ;

Дивергенцией векторного поля, определяемого вектором, называют скаляр

(2)

Если , то точку Мо называют источником, а если , то Мо называют стоком, ибо в первом случае в любой бесконечно малой области, окружающей точку Мо, жидкость возникает, а во втором случае она исчезает.

Абсолютная величина характеризует мощность источника или стока.

Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называют соленоидальным. Поток такого поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса поток и дивергенция векторного поля связаны между собой равенством

(3)

Которое имеет следующий смысл: поток векторного поля В через замкнутую поверхность равен тройному интегралу по области , ограниченной этой поверхностью, от дивергенцией поля.

Решение. Применяя формулу (2):

1)

Физический смысл: каждая точка поля радиус-вектора является источником постоянной мощности

2)

Физический смысл: точка поля М вектора в зависимости от ее координат может быть или источником, или стоком. Например, точка в которой

является стоком; точка в которой

является источником.

3)

; ;

Физический смысл: В поле вектора нет ни источников, ни стоков. Поток этого соленоидного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

14. Используя формулу Остроградского-Гаусса решить задачу 12, т.Е. Найти поток векторного через поверхность эллипсоида изнутри этой поверхности.

Решение. Найдем

и подставляя в формулу (3) найдем

где Q– эллипсоид

Полученный тройной интеграл расчленяем:

Где и

Первый интеграл равен объему области Q, т.е. объему эллипсоида

Второй и третий интегралы равны, т.к. равны нулю их внутренние простые интегралы от нечетной функции.

Следовательно, как и в решении задачи 12 , Но решение значительно проще.

15. Найти дивергенцию векторного поля в точке А(1;-1;3)

Решение:

в точке А исток

16. Проверить, что векторное поле является соленоидным.

Решение:

Во всех точках данного векторного поля . Следовательно, векторное поле является соленоидальным. Поток такого поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

17. Вычислить циркуляцию поля вектора 1) вдоль окружности 2) вдоль периметра треугольника с вершинами А(1;0;0) В(0;1;0) С(0;0;1); 3) вдоль замкнутой линии (l): , (см. рис) и вихревой вектор этого поля в точке А( )

Линейным интегралом вектора вдоль линии l называют криволинейный интеграл (1)

В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении точки вдоль линии l.

В случае замкнутой кривой этот интеграл называется циркуляцией поля вектора по контуру l.

Вихрем (или ротором) векторного поля, определяемого вектором , называют вектор

(2)

Доказать!

Если через точку М поля провести плоскость Р, определяемую единичным нормальным вектором , то скалярное произведение характеризует вращательную способность этого поля в точке М. Она зависит как от координат точки М, так и от направления плоскости Р и достигает наибольшей величины , равной когда плоскость Р перпендикулярна .

Векторное поле, во всех точках которого вихревой вектор равен нулю, называют потенциальным(или безвихревым). В потенциальном поле линейный интеграл, т.е. работа не зависит от формы линии, соединяющей какие-либо две его точки, а циркуляция всегда равна нулю.

Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным и потенциальным, называют гармоническим.

Решение Применяя формулу (1), получим:

1)

Если выбрать другое направление обхода данного контура, то результат будет иметь противоположный знак

2)

Периметр АВСА треугольника состоит из трёх отрезков, которые лежат на прямых, имеющих различные уравнения. Поэтому криволинейный интеграл по контуру АВСА вычисляем как сумму интегралов по отрезкам АВ, ВС и СА.

Составив уравнения прямой АВ: X+Y=1, Z=0 и исходя из этих уравнений преобразуем криволинейный интеграл по отрезку АВ в обыкновенный интеграл с переменной x.

Для отрезка ВС: y+z=1; x=0;

Для отрезка СА; x+z=1, y=o;

Следовательно

3)

Для вычисления этого интеграла преобразуем данные уравнения кривой l в параметрические: полагая , получим из уравнения , ,

Соответственно из уравнения

Пользуясь этими уравнениями, преобразуем криволинейный интеграл с в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вычисляем его:

Вихревой вектор (rot) данного поля в любой точке М(x,y,z) находим по формуле (2)

В данной точке А( )

18. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки через точку ? В каком направлении должна двигаться точка М при переходе через точку , чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

Наибольшая по величине скорость (возрастания или убывания) функции U(M) при переходе точки M через точку P численно равна модулю градиента функции в точке P. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M, переходя через точку P, двигаться по направлению градиента функции в точке P или по прямо противоположному направлению.

В соответствии с данными положениями, находим частные производные U и по формуле ее градиент в любой точке.

Градиентом функции (поля) U(M) называют вектор , который в каждой точке М совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку. Из всех производных функции U(M), взятых по различным направлениям, наибольшее значение всегда имеет производная по направлению градиента функции

Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции.

Далее находим: ; его модуль численно равный искомой наибольшей скорости возрастания функции U(M) при переходе M через , будет:

Далее: в каком направлении должна двигаться точка , чтобы функция U(M) убывала с наибольшей скоростью?

Чтобы функция U(M) убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку точка M должна двигаться в направлении вектора

19. Найти производную функции по направлению вектора в любой точке и в точках и .

Найдем частные производные функции u и направляющие косинусы вектора :

;

Подставляя в формулу:

Подставляя координаты точек А и В получим: