3)По направлению вектора

Производной функции U(M) по направлению называют предел отношения разности к величине направленного отрезка , когда точка стремится к точке М, оставаясь на прямой МР.

Производная функция U направлению обозначается или :

И вычисляется по формуле: , где

- нормальный вектор к поверхности уровня,

- единичный вектор направления

Производная определяет величину скорости изменения функции U(M)при перемещении М по направлению .

В каждой точке, где функция дифференцируемая, она имеет производную по любому направлению.

Производные функции U(x,y,z) по положительным направлениям осей координат равны ее частным производным: . Производные по прямо противоположным направлениям отличаются только по признаку.

Производная функция U(х,у) по направлению линии уровня ( касательному к линии уровня) и производная функции U(x,y,z) по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня (по левому направлению, касательному к поверхностью уровня), равны нулю.

Решение:

Находим частные производственные функции U и вычисляем их значение в точке М.

Подставляя в формулу

Находим далее косинусы углов и , образованных заданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функции U по заданному направлению:

1)Для биссектрисы 1-го координатного угла: , , ;

2)Для радиус-вектора точки М: , , ;

3)Для вектора , , .

10. По справочным данным: для вакуума , ; для воздуха , .

Определить скорость света в вакууме и скорость света в воздухе.

( )

11. Составьте сравнительную таблицу единиц измерения основных электрических и магнитных величин. (Выразите их только через )

Электрические величины	Магнитные величины
Количество электричества (q) Кл (Кулон) ~ Напряжение, Э.д.с (U) В (Вольт) Напряженность электрического поля (Е) В/м Емкость (С) Ф (Фарада) ~ c/Ом Абсолютная диэлектрическая проницаемость ( ) Ф/м ~	Магнитный поток (Ф) Вб (Вебер) ~ Магнитная индукция (В) 1Тл (Тесла) ~ Напряженность магнитного поля (Н) 1А/м Индуктивность Гн (Генри) Абсолютная магнитная проницаемость ( ) Гн/м ~

12. Найти поток векторного поля через поверхность эллипсоида изнутри этой поверхности.

Векторным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой М которой связано определенное значение некоторой физической величины .

Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе координат ОXYZ, то вектор будет векторной функцией, а его проекции на оси координат будут скалярными функциями от переменных x,y,z:

Поэтому задание поля векторной величины равносильно заданию трех скалярных (числовых) функций .

Потоком векторного поля, образованного вектором через поверхность называется поверхностный интеграл (скаляр)

(1)

Если вектор определяет поле скоростей текущей жидкости, то интеграл k выражает количество жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени. При этом если –замкнутая поверхность, ограничивающая область Q и если интеграл (1) берется по внешней стороне , то величина k называется потоком вектора изнутри поверхности; она дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Q и втекающей в эту область за единицу времени (предполагается, что жидкость может свободно протекать через поверхность )

При k>0 из области Q вытекает жидкость больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источников, питающих поток жидкости. При k<0 из области вытекает жидкости меньше, чем втекает, что означает наличие в этой области стоков, где жидкость удаляется из потока. При k=0 из области вытекает жидкости столько же, сколько и втекает.

Решение Согласно (формуле 1)

Расчленяем этот поверхностный интеграл на три слагаемых интеграла и, пользуясь данным уравнением эллипсоида , сводим их вычисления к вычислению двойных интегралов.

1)

где и – части данного эллипсоида, расположенные по разные стороны от плоскостей yoz

и

Преобразуя эти поверхностные интегралы в двойные, получим:

т.к. поверхность обращена в сторону отрицательного направления оси ox

т.к. поверхность обращена в сторону положительного направления ox.

Проекции и поверхностей и на плоскость yoz представляет один и тот же эллипс.

Поэтому:

Где – положительное значение z из уравнения эллипса

вычисляя двукратный интеграл, найдем

2)

где и – части поверхности, расположенные по разные стороны от плоскости xoz, уравнения которых:

и

Преобразуя поверхностные интегралы в двойные, получим

т.к. проекции и поверхностей на плоскость xoz одинаковы.

3) По аналогичной причине вследствие четности подынтегральной функции поверхностного интеграла и симметричности поверхности относительно плоскости xoy

окончательно